calcul d'intégrale

[invite6a484ef9]

bonjour,
voila j'ai un exercice à faire et je bloque à un endroit donc si quelqu'un pouvait m'aider merci
voila l'exercice et ce que j'ai trouver

f est la fonction définie sur R par f(x) = 1 / (1 + x²e^-x)
On cherche une valeur approchée de l'intégrale I = intégrale de 0 à 1 f(x) dx

1) démontrer que
a) pour tout x de [0;1], o< ou = x²e^-x <ou= 1
b) pour tout u de [o;1], 1 - u <ou = 1 / (1 + u) < ou = à 1 - u/2

pour cette question pas de problème j'y suis arrivé

2)En déduire une valeur approchée de I à 10^-1 près

donc pour celle ça se complique j'ai essayée de remplacer u par x²e^-x et 1-u par 1-0
mais le problème c'est que je trouve que 1 est plus petit que 1/2 donc ça ne doit pas être comme ça qu'il faut faire donc si quelqu'un pouvait me donner une piste merci d'avance
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[invite88636644]

Salut,
Tu as montré que 1-x^2*e^-x< ou = 1/(1+x^2*e^-x) < ou = 1-(1/2)x^2*e^-x (tu remplace u par x^2*e^-x dans l'inégalité), donc en intégrant tu obtient:
integrale de 0 à 1 de 1-x^2*e^-x dx < ou = integrale de 0 à 1 de 1/(1+x^2*e^-x) dx < ou = integrale de 0 à 1 de 1-(1/2)x^2*e^-x dx

D'où en posant v= integrale de 0 à 1 de x^2*e^-x dx, on a:
1-v< ou = I < ou = 1-v/2

Or v=2-(5/e) (on trouve cela en faisant deux intégrations par parties successives afin de diminuer la puissance du x^2...)

d'où (5/e)-1< ou = I < ou = (5/e)

Par contre, il est juste possible par cette méthode d'encadrer I à l'unité près.

a+