Pourquoi sqrt(x^3) est elle dérivable en zéro?

[neokiller007]

Salut,

Je ne comprend pas pourquoi est dérivable en 0.
Sa dérivée est
On voit bien que si x=0 y a un problème...

Merci.
-----

[erik]

Sa dérivée est

et

et hop plus de problèmes

[invitea250c65c]

Salut !

Sa dérivée est

Le problème vient de la.
Tu as une composée avec la fonction racine carrée. Tu sais que celle ci est derivable sur mais pas en 0. Tu ne peux donc pas dire si ta fonction est dérivable en 0, puisque la règle de dérivation sur les composées s'applique uniquement dans le cas ou les deux fonctions sont dérivables sur leurs ensembles de définition respectifs. Mais attention, rien ne dit qu'elle n'est pas dérivable.
Il faut donc ici utiliser la définition : le taux de variations de f en 0 qui est ici, pour tout x>0 donc la limite (à droite) en 0 existe et fait 0 donc ta fonction est dérivable en 0 et son nombre dérivé en 0 fait 0.

Tu as un cas analogue par exemple avec la fonction en 0 : la fonction racine n'est pas dérivable en 0, donc on ne peut pas utiliser les théoremes de dériavation classiques, et on ne peut pas dire si f est dérivable ou non en 0 sans passer par un taux de variations ... .

D'ou l'importance avant de se lancer dans le calcul de dérivées de dire ou la fonction est ou n'est pas dériable et pourquoi et éventuellement de préciser ou on ne peut pas conclure directement.

A+

Edit : grillé !

et

et hop plus de problèmes

attention ici on ne peut pas simplifier car ca fait 0 au dénominateur, on est obligé de passer par le taux de variations.

[neokiller007]

C'est normal qu'on puisse changer le domaine de définition rien qu'en changeant la forme?
Si oui dans ce cas comment savoir si on a bien la bonne forme?

Question subsidiaire: pourquoi cette proposition est-elle fausse?
Pour tout réel , on a: ln((x+3)(x+2))=ln(x+3)+ln(x+2)

Edit(prenant en compte Electrofred): Ok mias t'entends quoi par taux de variation?

[A voir en vidéo sur Futura]

[neokiller007]

J'ai encore une autre question: le domaine de dérivabilité d'une fonction c'est bien l'intersection des domaines de dérivabilités des fonctions usuelles la "composant" (pas forcement dans le sens fonction composée)?
Alors pourquoi est dérivable sur et pas sur ?

[invitea250c65c]

C'est normal qu'on puisse changer le domaine de définition rien qu'en changeant la forme?
Si oui dans ce cas comment savoir si on a bien la bonne forme?

Non justement on ne peut pas.Par exemple on ne peut pas dire x²/x=x mais on peut dire "pour tout x différent de 0, x²/x=x", de même ici avec la simplification proposée, et comme justement on travaille en 0, ca pose problème.
Pour revenir au problème initial, ta dérivée est valable seulement pour x>0 car ta fonction cube est à valeurs dans pour x dans et que ta fonction racine est dérivable dans , tu peux donc appliquer le théorème de dérivation de la fonction composée et trouver ta formule mais encore une fois attention, formule valable pour x dans .
La dérivée exacte de ta fonction et biensur comme f n'existe pas pour x négatif f' n'existe pas non plus.

Edit(prenant en compte Electrofred): Ok mias t'entends quoi par taux de variation?

Taux d'accroissement, le taux d'accroissement de f en a étant le fameux pour x différent de a. Désolé j'aurais plutot du dire taux d'accroissement.

Question subsidiaire: pourquoi cette proposition est-elle fausse?
Pour tout réel , on a: ln((x+3)(x+2))=ln(x+3)+ln(x+2)

Prends par exemple x=-5 : on obtiendrait "ln(6)=ln(-2)+ln(-3)" (désolé c'est pas beau j'aurais du mettre plus de guillemets ), même si le membre de gauche existe (et en prenant x=-3 par exemple il n'aurait pas existé non plus), les logarithmes de nombres négatifs au membre de droite c'est pas top .

Je suppose que c'est une question d'un QCM ca non ? c'est le genre de petits trucs auxquels on fait pas forcément attention mais qui fait perdre des points facilement.

A+

[invitea250c65c]

J'ai encore une autre question: le domaine de dérivabilité d'une fonction c'est bien l'intersection des domaines de dérivabilités des fonctions usuelles la "composant" (pas forcement dans le sens fonction composée)?
Alors pourquoi est dérivable sur et pas sur ?

Pour les sommes, produits, quotient (avec dénominateur non nul) pas tout à fait : pour faire plus simple je minteresse simplement au produit.
Si u et v sont dérivables sur I alors f=uv est dérivable sur I. Mais si u ou/et v ne sont pas dérivables sur I rien ne te dit que uv sera ou ne sera pas dérivable sur I, cf l'exemple que je t'ai donné : en 0 (racine non dérivable en 0 pourtant f l'est). Donc plus précisémment on pourrait dire que f=uv est dérivable sur l'intersection des domaines de dérivabilité de u et v mais on ne peut pas dire directement si f sera dérivable ailleurs (donc si l'ensemble de dérivabilité sera cette intersection).

Par contre pour les composées, pas du tout.
Je vais juste prendre ton exemple parce que j'ai la flemme de le faire dans le cas général : sur . f est dérivable sur , car la fonction sous la racine est dérivable partout donc pas de problème par contre la racine est dérivable quand ce qui est en dessous est strictement positif, soit pour . Partout ailleurs, soit f n'est pas définie, soit f n'est pas dérivable (x=-3 et x=1).

Pour t'en convaincre sur ton exemple, prends x=-0.5, tu as trouve une racine de nombre négatif (je ne vais pas le réécrire parce que déjà les logarithmes de nombres négatifs tout a l'heure c'était pas très beau alors si je continue comme ca jvais me faire taper dessus par les matheux qui passeraient par la ). Et même pour x=1 ca ne marche pas bien que la racine existe.

Tu as compris ? N'hésite pas si tu as d'autres questions.

[neokiller007]

Pour revenir au problème initial, ta dérivée est valable seulement pour x>0 car ta fonction cube est à valeurs dans pour x dans et que ta fonction racine est dérivable dans , tu peux donc appliquer le théorème de dérivation de la fonction composée et trouver ta formule mais encore une fois attention, formule valable pour x dans .

Tu parles de quel théorème exactement?

Prends par exemple x=-5 : on obtiendrait "ln(6)=ln(-2)+ln(-3)" (désolé c'est pas beau j'aurais du mettre plus de guillemets ), même si le membre de gauche existe (et en prenant x=-3 par exemple il n'aurait pas existé non plus), les logarithmes de nombres négatifs au membre de droite c'est pas top .

Je comprend pas: on part d'un truc vrai, pourquoi on aurait pas le droit de lui faire toutes les transformations que l'on veut?

Je suppose que c'est une question d'un QCM ca non ? c'est le genre de petits trucs auxquels on fait pas forcément attention mais qui fait perdre des points facilement.

Oui, bac-blanc, et j'ai eu faux

[Gwyddon]

Je comprend pas: on part d'un truc vrai, pourquoi on aurait pas le droit de lui faire toutes les transformations que l'on veut?

Euh.... ln(2) existe, mais ln(2)=ln(-1*-2) = ln(-1)+ln(-2), bof bof...

Oui, bac-blanc, et j'ai eu faux

En fait ça ne m'étonne pas, car je remarque depuis quelques temps une lacune chez toi : tu ne connais pas assez précisément ton cours

Donc je serais toi je m'y mettrais à fond, et je le connaîtrais sur le bout des doigts ; car faire des exercices sans maîtriser son cours, c'est inutile. Ceci est un conseil, ne pas le prendre pour une attaque

Exemple :

Tu parles de quel théorème exactement?

c'est un théorème qui est très certainement dans ton cours, et qui dit que si g est dérivable en a, f est dérivable en g(a), alors fog est dérivable en a et l'on a (fog)'(a) = f'[g(a]*g'(a)

[neokiller007]

En fait je comprend toujours pas pour le

Normalement:
Il est où le problème avec ça?

[invitea250c65c]

Salut,

Je reprends pour , quand tu auras compris le principe sur cet exemple tu verras que ca ira mieux pour le cas général.
Déjà l'ensemble de définition de ta fonction est , la on est d'accord pas de problème.
Ensuite, pour l'ensemble de dérivabilité, voici comment on peut procéder :
Notre fonction étant composée, on peut utiliser un théorème du cours sur les composées (cité plus haut).
Notre fonction se construit de la manière suivante : .
On cherche donc à dériver , mais avant de dériver, il faut voir si c'est dérivable et si oui ou c'est dérivable (ca n'a pas de sens de parler de dérivée si celle ci n'existe pas). u est dérivable sur , pas de problème. Mais la fonctin racine n'est dérivable que sur . Conclusion, pour appliquer le théorème, ce qui est sous la racine doit être strictement positif, or ce qui est sous la racine, c'est u(x). Au final, deux conditions :
- (car u définie et dérivable sur )
- c'est à dire
Si on réunit ces deux conditions, on a . Donc f est dérivable sur d'après le théorème sur la dérivabilité d'une composée.

Mais f n'est peut-être pas dérivable que sur . On vérifie :
f définie sur donc ne peut être dérivable que sur cet intervalle, or on sait qu'elle est dérivable sur , mais l'est-elle en 0 ? Problème : en 0, u(x)=0 et la racine n'est pas dérivable en 0, mais rien ne nous dit que f ne l'est pas (c'est juste qu'ici on ne peut plus appliquer le théorème ci dessus). On est donc obligé de le faire "à la main" :
On étudie et on trouve que cette limite existe et fait , donc f est dérivable en 0 (par définition du nombre dérivé) et f'(0)=0.

Conclusion : f est dérivable sur et en 0, donc sur . On a f'(0)=0 et pour tout x>0 (on applique la formule de dérivation d'une composée).


Donc attention : le théorème sur la dérivation des fonctions composées nous dit que si avec u dérivable sur I, v dérivable sur J et pour tout , alors f est dérivable sur I, oui. MAIS il ne nous dit rien quant aux intervalles ou u et/ou v ne sont pas dérivables. On est donc obligé d'examiner les autres cas "à la main" comme on l'a fait plus haut.

En pratique, ce problème se pose, pour l'instant, uniquement avec la fonction racine, car toutes les autres fonctions connues se dérivent partout ou elles existent (si on ne compte pas la partie entière), mais rien ne nous dit que plus tard nous ne rencontrerons pas quelques fonctions qui ne se dériveront pas partout ou elles existent (déjà on peut citer toutes les fonctions racine n-ième, même si on ne nous les fait pas trop dériver en TS).
Donc avant de se lancer dans les calculs de dérivées, bien dire ou c'est dérivable, pourquoi, et ou on ne peut pas conclure directement, c'est important au niveau du raisonnement (même si en pratique, a part avec la fonction racine, ce genre de probleme ne se pose pas trop cette année), et d'ailleurs même le jour du BAC, ca ne m'étonnerait pas que certains examinateurs privilégient beaucoup cette justification, après le calcul de la dérivée, c'est juste un petit calcul, faut connaître les formules qu'on nous rabbache depuis la 1ère.


A+

[neokiller007]

Explications très claires, merci beaucoup.
Cependant une question:

Donc attention : le théorème sur la dérivation des fonctions composées nous dit que si avec u dérivable sur I, v dérivable sur J et pour tout , alors f est dérivable sur I, oui. MAIS il ne nous dit rien quant aux intervalles ou u et/ou v ne sont pas dérivables. On est donc obligé d'examiner les autres cas "à la main" comme on l'a fait plus haut.

C'est pas: si avec u dérivable sur I et v dérivable sur J avec u(I)CJ, alors f est dérivable sur I?
Parce que si on oublie le u(I) inclut dans J ça change tout car si u(I) dépasse de J on a un problème.
Et le il sert à rien, non?

Donc si j'ai bien compris pour trouver le domaine de dérivabilité d'une composée () il faut trouver le domaine de dérivabilité de u, puis celui de v.
Dans le cas où celui de u (Du') est inclut dans celui de v (Dv'): pas de problème f est dérivable sur le domaine de dérivabilité de u.
Dans le cas où Du' dépasse Dv' (donc n'est pas inclut dedans): alors f est au moins dérivable pour tout x tel que et peut être dérivable sur "le bout de Df restant" et dans ce cas là il faut le vérifier avec la définition du nombre dérivé.
C'est ça?

Mais dans ce cas là, "le bout de Df restant" était un nombre (0) mais si c'est un intervalle, comment on fait, on ne peut pas utiliser la définition du nombre dérivé pour tout les nombre de l'intervalle puisqu'il y en a une infinité...

[invitea250c65c]

C'est pas: si avec u dérivable sur I et v dérivable sur J avec u(I)CJ, alors f est dérivable sur I?
Parce que si on oublie le u(I) inclut dans J ça change tout car si u(I) dépasse de J on a un problème.
Et le il sert à rien, non?

Tout à fait, désolé petite erreur de frappe, voici ce que je voulais dire :
"le théorème sur la dérivation des fonctions composées nous dit que si avec u dérivable sur I, v dérivable sur J et pour tout , alors f est dérivable sur I".

Donc si j'ai bien compris pour trouver le domaine de dérivabilité d'une composée () il faut trouver le domaine de dérivabilité de u, puis celui de v.
Dans le cas où celui de u (Du') est inclut dans celui de v (Dv'): pas de problème f est dérivable sur le domaine de dérivabilité de u.
Dans le cas où Du' dépasse Dv' (donc n'est pas inclut dedans): alors f est au moins dérivable pour tout x tel que et peut être dérivable sur "le bout de Df restant" et dans ce cas là il faut le vérifier avec la définition du nombre dérivé.
C'est ça?

Oui

Mais dans ce cas là, "le bout de Df restant" était un nombre (0) mais si c'est un intervalle, comment on fait, on ne peut pas utiliser la définition du nombre dérivé pour tout les nombre de l'intervalle puisqu'il y en a une infinité...

Nommons K cet intervalle qui reste et soit . Dans ce cas la on étudie la limite quand x tend vers a du taux d'accroissement de f en a et on conclue (on utilise toujours la définition du nombre dérivé mais dans un cas un plus général; pour tout réel a d'un intervalle).

Cependant je t'avoue que comme ca je ne vois aucun exemple, si quelqu'un en a un je suis interessé.

Ravi que tu ais compris, si on a des composées au bac je compte sur toi pour cartonner alors .

A+

[Flyingsquirrel]

Salut

Nommons K cet intervalle qui reste et soit . Dans ce cas la on étudie la limite quand x tend vers a du taux d'accroissement de f en a et on conclue (on utilise toujours la définition du nombre dérivé mais dans un cas un plus général; pour tout réel a d'un intervalle).

Cependant je t'avoue que comme ca je ne vois aucun exemple, si quelqu'un en a un je suis interessé.

Je n'ai pas d'exemple où est un intervalle mais si on considère , contient une infinité de points.

Comme est positif sur , est dérivable sur tout ces intervalles car le sinus est dérivable sur et la fonction racine carré est dérivable sur . Pour montrer la dérivabilité à droite aux points , on utilise la définition de la dérivée :



On pose , la limite précédente devient


On fait apparaître le taux d'accroissement du sinus en 0 :

car .

On a montré que est dérivable à droite aux points pour , il faudrait faire la même chose pour montrer la dérivabilité à gauche en .

[neokiller007]

Heu rassurez moi, le taux d'accroissement je l'écris comme ça:
, c'est équivalent?

[invitea250c65c]

Je n'ai pas d'exemple où est un intervalle mais si on considère , contient une infinité de points.

Ah oui en effet, merci pour l'exemple je n'y avais pas pensé.

Heu rassurez moi, le taux d'accroissement je l'écris comme ça:
, c'est équivalent?

Oui c'est complètement équivalent, c'est juste un changement de variable : h=x-a d'ou x=a+h et du coup h tend vers 0 (car x tend vers a). Graphiquement ca s'illustre bien aussi (h est l'écart entre x et a (sur l'axe des abcisses)).

[invitea250c65c]

Juste une petite rectification : je t'ai dit que cette année, à part la racine, toutes les fonctions connues étaient dérivables là ou elles existaient, mais il y a également la fonction valeur aboslue qui ne l'est pas en 0.
Voila j'éspère que cette fois je n'en n'ai pas oublié d'autre.

A+