Pourquoi la vitesse est elle égale à dx/dt?

[invite8978f3fa]

Bonjour,
Ceci m'est completement abstrait, je comprends evidemment que V=D/T mais comment V=d(x)/d(t)??? Comment les dérivées permettent de trouver autre chose que la variation d'une fonction, comme des valeurs utilisables?
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[Calvert]

Salut!

Considère, dans un premier temps, un mobile qui se promène le long de l'axe des x. A l'instant , il se trouve en . Plus tard, en , il se trouve en .

Tu semble d'accord de dire que la vitesse moyenne sur ce parcours est:



Il s'agit donc bien de la vitesse qu'avait EN MOYENNE le mobile le long de ce trajet. Rien n'empêche qu'il ait fait une partie du parcours très vite, et une autre très lentement, tout en conservant, EN MOYENNE, cette vitesse.

C'est pourquoi on a introduit le concept de VITESSE INSTANTANEE: la vitesse qu'avait le mobile A UN INSTANT PRECIS.

Comment faire?

Pour mesurer cette vitesse instantanée, la solution est visiblement de mesurer la vitesse en deux instants consécutifs, les plus proches possibles. En math, cela se traduit par:



Cette définition rappelle immédiatement la définition mathématique de la dérivée de la fonction x(t) par rapport à t. On retrouve donc bien:

[invitecfc38405]

c'est tout simplement comme une fonction, c'est une variation de distance, en fait dx c'est la variation de la distance par rapport au temps dt.
quand tu te déplace, la distance que tu parcours change en même temps de ton temps.
je sais pas si tu as compris mais voila.

[invitec053041c]

Pour compléter le message, déjà complet de calvert, ou plutôt pour l'illustrer:

Si tu prends ta voiture pour faire Marseille/Paris, ce qui fait du 1000km, que tu fais par exemple en 8h.
Ta vitesse globale moyenne aura été de 1000/8=125km/h (ça va, t'es pas fait flasher ).
Mais il est évident que sur une petite route, tu auras roulé moins vite que sur l'autoroute. Qu'est ce qui te donne cette indication concrètement ? c'est le compteur de vitesse derrière ton volant, celui là t'affiche ta vitesse instantannée, celle dont te parle calvert.
Ce compteur évalue sur une petite durée dt la distance dx que tu as parcourue, en fait le rapport et te l'affiche (enfin, presque ).

[A voir en vidéo sur Futura]