Répondre à la discussion
Page 1 sur 2 1 DernièreDernière
Affichage des résultats 1 à 30 sur 33

cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?



  1. #1
    supernico999

    cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?


    ------

    Salut tout le monde
    Voilà, je bloque totalement pour trouver [cos(sqrt(x))]'(0)...
    (elle est bien dérivable en 0, ça je l'ai montré).

    Quelqu'un a-t-il un idée ?

    Merci !

    -----

  2. #2
    Stephen

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Je suis intéressé par ta preuve de la dérivabilité en 0

    Cette fonction n'est pas dérivable en 0, elle l'est partout ailleurs sur les réels positifs, avec dérivée


  3. #3
    olle

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    f(x) = cos(x1/2)
    f'(x) = -sin(x1/2)*1/2*x-1/2

    au voisinage de x=0, on a :
    sin(x) = x

    f'(x) = -x1/2*1/2*x-1/2 = -1/2

    donc c'est bel et bien dérivable en 0

  4. #4
    olle

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    ah oui euh non...
    dérivable à droite...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    supernico999

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    ok merci beaucoup !

    Dernière question, est ce que fog dérivable en a et g dérivable en a est une condition suffisante pour que f soit dérivable en a ?

  7. #6
    .:Spip:.

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    SVP, est ce que je pourrais savoir ce que vous noté par sqrt, je ne connais pas.

    merci
    Soyez libre, utilisez Linux.

  8. #7
    supernico999

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    sqrt(x) c'est racine carrée de x

  9. #8
    .:Spip:.

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par supernico999
    sqrt(x) c'est racine carrée de x
    merci, mais d'ou vient cette notation ??, pourquoi ne met ton pas rac
    Soyez libre, utilisez Linux.

  10. #9
    Korgox

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    parce que square root (racine carrée en anglais)

    C'est très commun en programmation et dans des logiciels comme mathematica...

  11. #10
    .:Spip:.

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    CQFD, je n'utilise pas encore ce type de logiciel, il faut que je m'y mette, mais rien que le latex, ca m'enerve, je mets 5 minutes par lignes.

    merci encore
    Soyez libre, utilisez Linux.

  12. #11
    Stephen

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par supernico999
    ok merci beaucoup !

    Dernière question, est ce que fog dérivable en a et g dérivable en a est une condition suffisante pour que f soit dérivable en a ?
    Non. Prends f la fonction cos(sqrt(x)), et g(x) = cste = 1. g est dérivable en 0, fog aussi, mais f ne l'est pas. D'ailleurs il se peut très bien en général que f ne soit pas définie en a (elle doit l'être en f(a)).

  13. #12
    supernico999

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par Stephen
    Non. Prends f la fonction cos(sqrt(x)), et g(x) = cste = 1. g est dérivable en 0, fog aussi, mais f ne l'est pas. D'ailleurs il se peut très bien en général que f ne soit pas définie en a (elle doit l'être en f(a)).
    bah là f est dérivable en 0 dans ton exemple

  14. #13
    Stephen

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par supernico999
    bah là f est dérivable en 0 dans ton exemple
    Non, elle ne l'est pas.

  15. #14
    olle

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    elle n'est que dérivable à droite, pas à gauche.
    techniquement parlant elle n'est donc pas dérivable tout court

  16. #15
    justine&coria

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Désolé de vous contredire, mais la dérivée de cos(x1/2) en 0 existe et elle est égale à -1/2 !!!
    Si vous tracez les courbes cos(x1/2) et -x/2+1, vous verrez que j'ai raison !!!

    En fait, pour calculer ce nombre dérivé, il faut revenir à la première définition du nombre dérivé.
    En effet, la dérivée de x1/2 est égale à 1/(2x1/2)pour tout x différent de 0 ! Pour x=0, on ne peut plus utiliser cette fonction dérivée.
    En fait, quand on revient à la définition première du nombre dérivé, on trouve quand même que la dérivée de x1/2 n'existe pas, car la dérivée serait égale à +oo.

    Mais dans le cas de cos(x1/2) , le nombre dérivé existe.

    Bon j'arrête de faire durer le suspense : la définition première du nombre dérivé est celle-ci :
    la dérivée de f en x0 (quand elle existe) est la limite réelle (si elle existe) quand x tend vers x0 de (f(x)-f(x0))/(x-x0).

    Quand vous faites le calculs avec cos(x1/2), vous trouvez que cette limite et que donc le nombre dérivé est égal à -1/2.
    Il faut au fait appliquer le théorème de l'hôpital à 2 reprises pour trouver la limite en question. Ceux qui ne connaissent pas la règle de l'Hôpital ne peuvent pas trouver cette limite. (enfin, je le pense).

    En tout cas, cette dérivée existe bien. (sauf erreur de ma part)
    Dernière modification par justine&coria ; 16/11/2004 à 14h50.

  17. #16
    justine&coria

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Désolé, mais j'ai pas le temps d'expliquer la Règle de l'Hôpital qui, pourtant, est assez simple à comprendre.
    Peut-être tout à l'heure, sauf si quelqu'un veut bien le faire à ma place.

  18. #17
    justine&coria

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par supernico999
    ok merci beaucoup !

    Dernière question, est ce que fog dérivable en a et g dérivable en a est une condition suffisante pour que f soit dérivable en a ?
    g dérivable en a et fog dérivable en a signifie uniquement que f est dérivable en g(a) (pas en a) !

  19. #18
    humanino

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par justine&coria
    En tout cas, cette dérivée existe bien.
    Je pense qu'elle n'existe pas. Derivable signifie en fait que
    pente à droite=pente à gauche ou encore
    nombre derivé à droite = nombre derivé à gauche
    ceci valable sur les réels.
    C'est très important, car quand lorsqu'on passe aux complexes, le fait que la dérivée ne dépendent pas de la direction dans laquelle on "tend vers" devient une telle contrainte que :
    dérivabilité complexe implique analyticité (dérivabilité à tous les ordres)
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  20. #19
    olle

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par justine&coria
    Bon j'arrête de faire durer le suspense : la définition première du nombre dérivé est celle-ci :
    la dérivée de f en x0 (quand elle existe) est la limite réelle (si elle existe) quand x tend vers x0 de (f(x)-f(x0))/(x-x0).
    tu le dis toi même : "quand elle existe"
    comment pourrait-elle exister alors qu'à gauche la fonction, f(x) n'est même pas définie ?

  21. #20
    justine&coria

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Si je n'ai pas fait d'erreur de calcul, j'ai raison.
    Et d'ailleurs on voit bien que -x/2+1 est tangente à la courbe en 0 !!!
    Pour répondre à ta question olle, la limite existe bien ! il ne s'agit pas de chercher de limite à droite ou à gauche ici.
    Si je te demande la limite de x1/2 quand x tend vers 0, tu me réponds tout de suite que c'est 0 ! et pourtant x1/2 n'existe pas à gauche de 0.

    Et humanino, le nombre dérivé ne signifie pas "dérivée à droite et dérivée à gauche", d'ailleurs que signifie réellement dérivée à droite et dérivée à gauche ?

    Comment fait-on pour montrer que x1/2 n'est pas dérivable en 0 !!! On n'utilise pas la formule 1/(2x1/2), mais on revient à la définition initiale : le nombre dérivé c'est la limite quand x tend vers 0 de l'accroissement. Et en utilisant la formule on trouve que cette limite est l'infini pour x=0: la courbe racine de x admet l'axe des ordonnées comme tangente au point O(0,0), mais la fonction racine de x n'admet pas de dérivée (car +oo n'est pas un nombre réel).

    La dérivée de cos(x1/2) en 0 est bien -1/2 -> au voisinage de 0 (ici, ce n'est évidemment qu'à droite de 0), cos(x1/2) est à peu près égal à -x/2+1 (qui est l'approximation affine de la fonction)!

  22. #21
    martini_bird

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Salut,

    en premier lieu, justine&coria a (ont) tout à fait raison de préciser que l'on ne peut pas passer à la limite la dérivée comme ça: il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue.

    Ensuite, on ne devrait parler de dérivabilité que sur un (intervalle) ouvert. Mais bon, ce n'est pas le cas.

    humanino a raison de dire qu'il faut que la dérivée de f à gauche et à droite doivent être égales pour que f soit dérivable. Mais dans ce cas précis, l'intervalle de définition est [0, +oo[ et donc pas de dérivée à gauche! Le nombre dérivée de f en 0 existe bien (autant que la dérivée de la racine carrée en 0).

  23. #22
    Stephen

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par justine&coria
    En tout cas, cette dérivée existe bien. (sauf erreur de ma part)
    Il me semble que pour employer l'Hôpital, la dérivabilité est supposée, donc l'employer pour démontrer la dérivabilité c'est un peu tangent

  24. #23
    Stephen

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par humanino
    dérivabilité complexe implique analyticité (dérivabilité à tous les ordres)
    L'analycité n'est pas la dérivabilité à tous les ordres. Les fonctions analytiques sont les fonctions indéfiniment continument dérivables dont le développement en série entière converge localement uniformément vers la fonction. Et effectivement une fonction analytique est holomorphe dans le disque de convergence, et une fonction holomorphe est analytique dans le plus grand disque contenu dans un ouvert connexe où elle est holomorphe.

    Il existe des fonctions infiniment continument différentiables, mais non analytiques, par exemple la fonction bosse ( si sinon). C'est en fait un petit exercice que de montrer que hormi le cas de la fonction identiquement nulle, aucune fonction dont le support est compact n'est analytique (on parle du manque de rigidité des fonction à support compact, alors que les fonctions analytiques sont très rigides, on ne fait pas ce qu'on veut sur le bord d'un ouvert )

  25. #24
    ulrich richarovitch

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    il s'agit de la derivabilite à droite ,calculons lim [cos(sqrt (x))-cos(sqrt(0))]/(x-0)lorsque x->0+,cela vaut lim cos(t)/t^2 lorsque t->0 qui est egal à lim 1/t^2 lorsque
    t->0 soit plus infini ,donc ta fonction n'est pas derivable en 0 (à droite).

  26. #25
    martini_bird

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par ulrich richarovitch
    il s'agit de la derivabilite à droite ,calculons lim [cos(sqrt (x))-cos(sqrt(0))]/(x-0)lorsque x->0+,cela vaut lim cos(t)/t^2 lorsque t->0 qui est egal à lim 1/t^2 lorsque
    t->0 soit plus infini ,donc ta fonction n'est pas derivable en 0 (à droite).
    C'est faux:


    C'est sûrement une erreur d'étourderie...

  27. #26
    jcm

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    La démo de OLLE est fausse.
    Pour la dérivabilité en 0,
    OLLE écrit f(x)= cos( x^(-1/2)) donc
    f'(x) = etc.. , en utilisant la formule de (uov)' = (u'ov) v', appliquée en 0
    mais attention, cette toute dernière formule ne saurait en aucun cas s'appliquer ici car v n'est pas dérivable en 0, justement.

    Avant d'appliquer un théorème, il faut commencer par vérifier si on a le droit de l'appliquer !.

    il faut faire le calcul de la limite en 0 à droite de f(x)-f(o)/ x-o.

    On peut envisager un DL de cos(u) en 0 avec u= sqrtx.
    cos u = 1-(u^2)/2+ u^2O(u)
    d'où
    cos(sqrtx) = 1- x/2 +xO(x)
    d'où
    (cos ( sqrtx ) - 1 )/x = -1/2 +O(x)

    d'où f dérivable en 0 à droite et f'(0)dr= -1/2

  28. #27
    jcm

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Une erreur chez martini-bird

    "Le nombre dérivée de f en 0 existe bien (autant que la dérivée de la racine carrée en 0)."

    la fonction racine carrée est définie mais non dérivable en 0. Il n'y a pas de nombre dérivé en 0 , pas de limite à droite tout court davantage .

    Ce qui est interessant dans cette dérivabilité à droite de cos( sqrt x), c'est qu'on est dans un cas ou uov est dérivable alors que pourtant v ne l'est pas : résultat à retenir.

  29. #28
    Stephen

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par jcm
    Ce qui est interessant dans cette dérivabilité à droite de cos( sqrt x), c'est qu'on est dans un cas ou uov est dérivable alors que pourtant v ne l'est pas : résultat à retenir.
    C'est pas un scoop, hein, il suffit de prendre u = cte

  30. #29
    martini_bird

    Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par jcm
    Une erreur chez martini-bird

    "Le nombre dérivée de f en 0 existe bien (autant que la dérivée de la racine carrée en 0)."

    la fonction racine carrée est définie mais non dérivable en 0. Il n'y a pas de nombre dérivé en 0 , pas de limite à droite tout court davantage .

    Ce qui est interessant dans cette dérivabilité à droite de cos( sqrt x), c'est qu'on est dans un cas ou uov est dérivable alors que pourtant v ne l'est pas : résultat à retenir.
    Oui merci, j'ai dit une bêtise je pensais à l'intervalle de définition en oubliant que la racine n'est justement pas dérivable!

  31. #30
    jcm

    Thumbs up Re : cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

    Citation Envoyé par Stephen
    C'est pas un scoop, hein, il suffit de prendre u = cte
    On vient de faire un excellent enchainement à partir de l'étourderie de m-bird.
    La démonstration la plus simple est toujours la meilleure, donc
    "uov dérivable même si v ne l'est pas" est surement plus facile à prouver avec u= constante qu'avec u= cos et v = sqrt, et ça vaut bien un smiley.

    Quoique , aussi simple soit-elle cette démonstration qui peut se faire mentalement sans preuve écrite demande un faible travail.
    Je suis tellement paresseux que j'ai préféré n'en faire aucun en reprenant le résultat de cos(sqrt x).

    Si j'ai voulu corriger l'étourderie sur la dérivabilité de sqrt x en 0, il me semble que l'auteur de l'étourderie faisait inconsciemment une erreur plus grave en reliant uov dérivable avec u et v dérivable comme une possible équivalence ( présupposé de ma part, il ne l'a pas écrit, mais c'était comme une impression où j'ai accordé la culpabilité au détriment du doute ! ).

    Votre enchainement dont la brieveté, et le cinglant n'ont d'égal que la justesse et la luminosité, a été un vrai régal de pédagogie.

    Ma flatterie et mon auto-défense n'ont pas la qualité ni la concision de votre coup de feu. Mon seul regret.

Page 1 sur 2 1 DernièreDernière

Discussions similaires

  1. CHoix entre COS-1 et COS-7
    Par supercell dans le forum Biologie
    Réponses: 1
    Dernier message: 09/03/2007, 10h57
  2. Simplification du quotient de 2 fonctions du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x)
    Par pola4619 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 5
    Dernier message: 18/05/2006, 12h37
  3. sqrt ( A ) <= A ???
    Par Krasno dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 17/11/2005, 19h13
  4. signe de sqrt(x+1) - x
    Par YURI'S dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 26/10/2005, 13h12
  5. Réduire cos a+cos b-cos(pi-a-b)
    Par Blackaliens dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 25/10/2005, 17h54