cos(sqrt(x)) dérivable en 0 ?

[invitef45cc474]

Salut tout le monde
Voilà, je bloque totalement pour trouver [cos(sqrt(x))]'(0)...
(elle est bien dérivable en 0, ça je l'ai montré).

Quelqu'un a-t-il un idée ?

Merci !
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[invite51f4efbf]

Je suis intéressé par ta preuve de la dérivabilité en 0

Cette fonction n'est pas dérivable en 0, elle l'est partout ailleurs sur les réels positifs, avec dérivée

[olle]

f(x) = cos(x^1/2)
f'(x) = -sin(x^1/2)*1/2*x^-1/2

au voisinage de x=0, on a :
sin(x) = x

f'(x) = -x^1/2*1/2*x^-1/2 = -1/2

donc c'est bel et bien dérivable en 0

[olle]

ah oui euh non...
dérivable à droite...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef45cc474]

ok merci beaucoup !

Dernière question, est ce que fog dérivable en a et g dérivable en a est une condition suffisante pour que f soit dérivable en a ?

[.:Spip:.]

SVP, est ce que je pourrais savoir ce que vous noté par sqrt, je ne connais pas.

merci

[invitef45cc474]

sqrt(x) c'est racine carrée de x

[.:Spip:.]

sqrt(x) c'est racine carrée de x

merci, mais d'ou vient cette notation ??, pourquoi ne met ton pas rac

[invite14ea0d5b]

parce que square root (racine carrée en anglais)

C'est très commun en programmation et dans des logiciels comme mathematica...

[.:Spip:.]

CQFD, je n'utilise pas encore ce type de logiciel, il faut que je m'y mette, mais rien que le latex, ca m'enerve, je mets 5 minutes par lignes.

merci encore

[invite51f4efbf]

ok merci beaucoup !

Dernière question, est ce que fog dérivable en a et g dérivable en a est une condition suffisante pour que f soit dérivable en a ?

Non. Prends f la fonction cos(sqrt(x)), et g(x) = cste = 1. g est dérivable en 0, fog aussi, mais f ne l'est pas. D'ailleurs il se peut très bien en général que f ne soit pas définie en a (elle doit l'être en f(a)).

[invitef45cc474]

Non. Prends f la fonction cos(sqrt(x)), et g(x) = cste = 1. g est dérivable en 0, fog aussi, mais f ne l'est pas. D'ailleurs il se peut très bien en général que f ne soit pas définie en a (elle doit l'être en f(a)).

bah là f est dérivable en 0 dans ton exemple

[invite51f4efbf]

bah là f est dérivable en 0 dans ton exemple

Non, elle ne l'est pas.

[olle]

elle n'est que dérivable à droite, pas à gauche.
techniquement parlant elle n'est donc pas dérivable tout court

[justine&coria]

Désolé de vous contredire, mais la dérivée de cos(x^1/2) en 0 existe et elle est égale à -1/2 !!!
Si vous tracez les courbes cos(x^1/2) et -x/2+1, vous verrez que j'ai raison !!!

En fait, pour calculer ce nombre dérivé, il faut revenir à la première définition du nombre dérivé.
En effet, la dérivée de x^1/2 est égale à 1/(2x^1/2)pour tout x différent de 0 ! Pour x=0, on ne peut plus utiliser cette fonction dérivée.
En fait, quand on revient à la définition première du nombre dérivé, on trouve quand même que la dérivée de x^1/2 n'existe pas, car la dérivée serait égale à +oo.

Mais dans le cas de cos(x^1/2) , le nombre dérivé existe.

Bon j'arrête de faire durer le suspense : la définition première du nombre dérivé est celle-ci :
la dérivée de f en x₀ (quand elle existe) est la limite réelle (si elle existe) quand x tend vers x₀ de (f(x)-f(x₀))/(x-x₀).

Quand vous faites le calculs avec cos(x^1/2), vous trouvez que cette limite et que donc le nombre dérivé est égal à -1/2.
Il faut au fait appliquer le théorème de l'hôpital à 2 reprises pour trouver la limite en question. Ceux qui ne connaissent pas la règle de l'Hôpital ne peuvent pas trouver cette limite. (enfin, je le pense).

En tout cas, cette dérivée existe bien. (sauf erreur de ma part)

[justine&coria]

Désolé, mais j'ai pas le temps d'expliquer la Règle de l'Hôpital qui, pourtant, est assez simple à comprendre.
Peut-être tout à l'heure, sauf si quelqu'un veut bien le faire à ma place.

[justine&coria]

ok merci beaucoup !

Dernière question, est ce que fog dérivable en a et g dérivable en a est une condition suffisante pour que f soit dérivable en a ?

g dérivable en a et fog dérivable en a signifie uniquement que f est dérivable en g(a) (pas en a) !

[invite8ef897e4]

En tout cas, cette dérivée existe bien.

Je pense qu'elle n'existe pas. Derivable signifie en fait que
pente à droite=pente à gauche ou encore
nombre derivé à droite = nombre derivé à gauche
ceci valable sur les réels.
C'est très important, car quand lorsqu'on passe aux complexes, le fait que la dérivée ne dépendent pas de la direction dans laquelle on "tend vers" devient une telle contrainte que :
dérivabilité complexe implique analyticité (dérivabilité à tous les ordres)

[olle]

Bon j'arrête de faire durer le suspense : la définition première du nombre dérivé est celle-ci :
la dérivée de f en x₀ (quand elle existe) est la limite réelle (si elle existe) quand x tend vers x₀ de (f(x)-f(x₀))/(x-x₀).

tu le dis toi même : "quand elle existe"
comment pourrait-elle exister alors qu'à gauche la fonction, f(x) n'est même pas définie ?

[justine&coria]

Si je n'ai pas fait d'erreur de calcul, j'ai raison.
Et d'ailleurs on voit bien que -x/2+1 est tangente à la courbe en 0 !!!
Pour répondre à ta question olle, la limite existe bien ! il ne s'agit pas de chercher de limite à droite ou à gauche ici.
Si je te demande la limite de x^1/2 quand x tend vers 0, tu me réponds tout de suite que c'est 0 ! et pourtant x^1/2 n'existe pas à gauche de 0.

Et humanino, le nombre dérivé ne signifie pas "dérivée à droite et dérivée à gauche", d'ailleurs que signifie réellement dérivée à droite et dérivée à gauche ?

Comment fait-on pour montrer que x^1/2 n'est pas dérivable en 0 !!! On n'utilise pas la formule 1/(2x^1/2), mais on revient à la définition initiale : le nombre dérivé c'est la limite quand x tend vers 0 de l'accroissement. Et en utilisant la formule on trouve que cette limite est l'infini pour x=0: la courbe racine de x admet l'axe des ordonnées comme tangente au point O(0,0), mais la fonction racine de x n'admet pas de dérivée (car +oo n'est pas un nombre réel).

La dérivée de cos(x^1/2) en 0 est bien -1/2 -> au voisinage de 0 (ici, ce n'est évidemment qu'à droite de 0), cos(x^1/2) est à peu près égal à -x/2+1 (qui est l'approximation affine de la fonction)!

[martini_bird]

Salut,

en premier lieu, justine&coria a (ont) tout à fait raison de préciser que l'on ne peut pas passer à la limite la dérivée comme ça: il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue.

Ensuite, on ne devrait parler de dérivabilité que sur un (intervalle) ouvert. Mais bon, ce n'est pas le cas.

humanino a raison de dire qu'il faut que la dérivée de f à gauche et à droite doivent être égales pour que f soit dérivable. Mais dans ce cas précis, l'intervalle de définition est [0, +oo[ et donc pas de dérivée à gauche! Le nombre dérivée de f en 0 existe bien (autant que la dérivée de la racine carrée en 0).

[invite51f4efbf]

En tout cas, cette dérivée existe bien. (sauf erreur de ma part)

Il me semble que pour employer l'Hôpital, la dérivabilité est supposée, donc l'employer pour démontrer la dérivabilité c'est un peu tangent

[invite51f4efbf]

dérivabilité complexe implique analyticité (dérivabilité à tous les ordres)

L'analycité n'est pas la dérivabilité à tous les ordres. Les fonctions analytiques sont les fonctions indéfiniment continument dérivables dont le développement en série entière converge localement uniformément vers la fonction. Et effectivement une fonction analytique est holomorphe dans le disque de convergence, et une fonction holomorphe est analytique dans le plus grand disque contenu dans un ouvert connexe où elle est holomorphe.

Il existe des fonctions infiniment continument différentiables, mais non analytiques, par exemple la fonction bosse ( si sinon). C'est en fait un petit exercice que de montrer que hormi le cas de la fonction identiquement nulle, aucune fonction dont le support est compact n'est analytique (on parle du manque de rigidité des fonction à support compact, alors que les fonctions analytiques sont très rigides, on ne fait pas ce qu'on veut sur le bord d'un ouvert )

[invitea8961440]

il s'agit de la derivabilite à droite ,calculons lim [cos(sqrt (x))-cos(sqrt(0))]/(x-0)lorsque x->0+,cela vaut lim cos(t)/t^2 lorsque t->0 qui est egal à lim 1/t^2 lorsque
t->0 soit plus infini ,donc ta fonction n'est pas derivable en 0 (à droite).

[martini_bird]

il s'agit de la derivabilite à droite ,calculons lim [cos(sqrt (x))-cos(sqrt(0))]/(x-0)lorsque x->0+,cela vaut lim cos(t)/t^2 lorsque t->0 qui est egal à lim 1/t^2 lorsque
t->0 soit plus infini ,donc ta fonction n'est pas derivable en 0 (à droite).

C'est faux:


C'est sûrement une erreur d'étourderie...

[jcm]

La démo de OLLE est fausse.
Pour la dérivabilité en 0,
OLLE écrit f(x)= cos( x^(-1/2)) donc
f'(x) = etc.. , en utilisant la formule de (uov)' = (u'ov) v', appliquée en 0
mais attention, cette toute dernière formule ne saurait en aucun cas s'appliquer ici car v n'est pas dérivable en 0, justement.

Avant d'appliquer un théorème, il faut commencer par vérifier si on a le droit de l'appliquer !.

il faut faire le calcul de la limite en 0 à droite de f(x)-f(o)/ x-o.

On peut envisager un DL de cos(u) en 0 avec u= sqrtx.
cos u = 1-(u^2)/2+ u^2O(u)
d'où
cos(sqrtx) = 1- x/2 +xO(x)
d'où
(cos ( sqrtx ) - 1 )/x = -1/2 +O(x)

d'où f dérivable en 0 à droite et f'(0)dr= -1/2

[jcm]

Une erreur chez martini-bird

"Le nombre dérivée de f en 0 existe bien (autant que la dérivée de la racine carrée en 0)."

la fonction racine carrée est définie mais non dérivable en 0. Il n'y a pas de nombre dérivé en 0 , pas de limite à droite tout court davantage .

Ce qui est interessant dans cette dérivabilité à droite de cos( sqrt x), c'est qu'on est dans un cas ou uov est dérivable alors que pourtant v ne l'est pas : résultat à retenir.

[invite51f4efbf]

Ce qui est interessant dans cette dérivabilité à droite de cos( sqrt x), c'est qu'on est dans un cas ou uov est dérivable alors que pourtant v ne l'est pas : résultat à retenir.

C'est pas un scoop, hein, il suffit de prendre u = cte

[martini_bird]

Une erreur chez martini-bird

"Le nombre dérivée de f en 0 existe bien (autant que la dérivée de la racine carrée en 0)."

la fonction racine carrée est définie mais non dérivable en 0. Il n'y a pas de nombre dérivé en 0 , pas de limite à droite tout court davantage .

Ce qui est interessant dans cette dérivabilité à droite de cos( sqrt x), c'est qu'on est dans un cas ou uov est dérivable alors que pourtant v ne l'est pas : résultat à retenir.

Oui merci, j'ai dit une bêtise je pensais à l'intervalle de définition en oubliant que la racine n'est justement pas dérivable!

[jcm]

C'est pas un scoop, hein, il suffit de prendre u = cte

On vient de faire un excellent enchainement à partir de l'étourderie de m-bird.
La démonstration la plus simple est toujours la meilleure, donc
"uov dérivable même si v ne l'est pas" est surement plus facile à prouver avec u= constante qu'avec u= cos et v = sqrt, et ça vaut bien un smiley.

Quoique , aussi simple soit-elle cette démonstration qui peut se faire mentalement sans preuve écrite demande un faible travail.
Je suis tellement paresseux que j'ai préféré n'en faire aucun en reprenant le résultat de cos(sqrt x).

Si j'ai voulu corriger l'étourderie sur la dérivabilité de sqrt x en 0, il me semble que l'auteur de l'étourderie faisait inconsciemment une erreur plus grave en reliant uov dérivable avec u et v dérivable comme une possible équivalence ( présupposé de ma part, il ne l'a pas écrit, mais c'était comme une impression où j'ai accordé la culpabilité au détriment du doute ! ).

Votre enchainement dont la brieveté, et le cinglant n'ont d'égal que la justesse et la luminosité, a été un vrai régal de pédagogie.

Ma flatterie et mon auto-défense n'ont pas la qualité ni la concision de votre coup de feu. Mon seul regret.