Approximation de Gamma...

[invite451e10de]

Je souhaite montrer pourquoi la fonction

Gamma[1+2*x]/(Gamma[1+x])^2

peut être approximée par

1 + x^2

pour x appartenant à [0,1].
Numériquement, cela semble évident, mais comment le montrer analytiquement?

PS: définition de Gamma[x]
Intégrale de 0 à Inf de t^(x-1) * exp(-t) dt
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[inviteab2b41c6]

En faisait un développement en série de Laurent peut etre?

[inviteab2b41c6]

Enfin, je voulas dire, un développement de Laurent autour de 0.

[invite451e10de]

En fait, on peut faire un développement limité autour de 0 pour trouver:
f(x) = 1 + Z(2)*x^2 + o(x^3)

où f est la fonction à approximer et Z est la fonction Zeta de Riemann (Z(2) ~ 1.64).

Autour de 1, le développement limité est déjà un peu plus délicat.

Numériquement, il apparaît que si 1 + x^2 ne correspond pas au DL de f en 0, cette fonction est beaucoup plus proche de f(x) sur l'ensemble de l'intervalle [0,1] que 1 + Z(2)*x^2. Mais toujours pas de preuve analytique...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9565d975]

On peut d'ailleurs préciser que Z(2) vaut exactement pi^2/6 !