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Approximation de Gamma...



  1. #1
    papago

    Approximation de Gamma...


    ------

    Je souhaite montrer pourquoi la fonction

    Gamma[1+2*x]/(Gamma[1+x])^2

    peut être approximée par

    1 + x^2

    pour x appartenant à [0,1].
    Numériquement, cela semble évident, mais comment le montrer analytiquement?

    PS: définition de Gamma[x]
    Intégrale de 0 à Inf de t^(x-1) * exp(-t) dt

    -----

  2. #2
    Quinto

    Re : Approximation de Gamma...

    En faisait un développement en série de Laurent peut etre?

  3. #3
    Quinto

    Re : Approximation de Gamma...

    Enfin, je voulas dire, un développement de Laurent autour de 0.

  4. #4
    papago

    Re : Approximation de Gamma...

    En fait, on peut faire un développement limité autour de 0 pour trouver:
    f(x) = 1 + Z(2)*x^2 + o(x^3)

    où f est la fonction à approximer et Z est la fonction Zeta de Riemann (Z(2) ~ 1.64).

    Autour de 1, le développement limité est déjà un peu plus délicat.

    Numériquement, il apparaît que si 1 + x^2 ne correspond pas au DL de f en 0, cette fonction est beaucoup plus proche de f(x) sur l'ensemble de l'intervalle [0,1] que 1 + Z(2)*x^2. Mais toujours pas de preuve analytique...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Oakenshield

    Arrow Re : Approximation de Gamma...

    On peut d'ailleurs préciser que Z(2) vaut exactement pi^2/6 !

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