Bijection entre lR et P(lN)...

[invitea77054e9]

Bonjour à toutes et à tous

Lors d'une discussion que j'ai eu avec mon prof d'algèbre-probailité (niveau 2ième année), il m'a indiqué le théorème suivant:
"card(lR)=card(P(lN)), où P(lN) désigne l'ensemble des parties de lN"
Il m'a mis au défit de prouver ce théorème, mais force est de constater que je en suis incapable, alors j'abdique et vous demande un peu d'aide...

Ma question est la suivante: Comment construire une bijection entre P(lN) et lR? J'aimerais simplement que vous me metiez sur la voie s'il vous plait!

Merci d'avance.
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[invite9565d975]

Salut,

voici un extrait du site :
http://perso.wanadoo.fr/matt95/infini/INFtheorie.htm
qui pourrait bien t'éclairer !

Considérons ensuite les réels : un réel peut être vu comme une suite illimitée d'entiers. Donc à tout réel on peut faire correspondre une partie de N. Et réciproquement. Bon, c'est pas une démonstration, mais ça permet d'intuitionner que R est l'ensemble des parties de N.

C'est en effet assez intuitif ! Reste à formuler ceci d'une manière un peu plus rigoureuse, mais je pense que c'est un bon départ.

Bon courage !

[invitea77054e9]

Merci Oakenshield

Effectivement ton début explication est intuitif.
Finalement c'est pas si dur que ça (c'est toujours quand on a la solution qu'on dit ça ).

[gilllloux]

Il est très difficile d'exprimer une bijection entre R et P(N). En revanche, il est très simple d'exprimer une Bijection entre R et un sou-ensemble de P(N) et une bijection entre P(N) et un sous-ensemble de R. Les deux conditions prouvent qu'il existe une bijection, même si on ne sait pas l'exprimer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gilllloux]

Par exemple pour mettre R en bijection avec un sous-ensemble de P(N), on peut dire que tout réel posède une écriture décimale unique a , b0 b1 b2 ... si l'on exclut les écritures terminant par 9999...

On peut associer à ce nombre un élément de P(N) unique, par exemple en sommant les n premiers éléments de {a,1+b0,1+b1,...}

Par exemple pour pi = 3,14159...
on associe l'ensemble {3,5,10,12,18,28,...}
et pour 2 réels distincts, on a 2 ensembles distincts d'entiers.

Donc pour tout élément de R, on sait faire correspondre un élément de P(N), même si tous les éléments de P(N) ne sont pas atteints par ce procédé (la différence entre 2 entiers consécutifs est toujours comprise entre 1 et 10).

[gilllloux]

J'ai oublié les nombres négatifs. Pour cela, on peut dire que la suite d'entiers commence par 0 si le réel est positif, et par 1 si le réel est négatif. Ensuite, on ajoute successivement 1+a , 1+b0 , 1+b1 , ...

[Quinto]

Il y'a une methode simple pour exhiber une bijection:

tout nombre de ]0,1[ peut s'ecrire en binaire
0,abcdefg.... ou a,b,c,d,e,f,g,... prennent leur valeur dans 0 et 1

il suffit d'associer une partie de N a chacun de ces nombre de la maniere suivante, avec un exemple:

a 0,1110101100.... on associe l'ensemble
{0,1,2,4,6,7....}

En fait il suffit de prendre le rang n de la décimale, si ce chiffre est 1, n appartient a notre ensemble, si ce chiffre est 0, alors ce n n'appartient pas a notre ensemble.

Un exemple, dans l'autre sens

{0,2,4,6,8,10,12,...}=2N
0,10101010101010....

[gilllloux]

Il y aura un problème à cause des nombres finissant par 1111...

[martini_bird]

Salut,

une petite proposition pour pallier le problème que gillloux a exhibé: si un nombre réel de ]0,1[ en binaire finit par une suite infini de 1, son écriture est équivalente à un nombre finissant par une infinité de 0. Exemple:
0,10101111111... = 0,1011.

Ainsi, par la méthode de Quinto, à un nombre réel peut correspondre deux parties de N: une partie finie (dans l'exemple {0, 2, 3}) et une partie infinie ({0, 3, 5, 6, 7, ...}).
Disons que si la partie est finie on l'écrit dans ]0, 1[, et sinon on met un "1" devant la virgule et on a un nombre de ]1, 2[. on obtient alors une bijection de ]0,1[ U ]1, 2[ sur P(|N) (sans l'ensemble vide à qui on peut associer le nombre 1).

Qu'en pensez-vous?

[gilllloux]

Je n'ai pas trop compris la méthode mais est-ce que tu es sur que la totalité de l'ensemble ]0,2[ possède une image dans P(N) ?

[invitea77054e9]

Martini_bird, penses-tu que par ta méthode, tout élèment de ]1;2[ a une image dans P(lN)?

Sinon Quinto Gillloux je trouve vos solutions tout à fait intéressantes.
Merci

[martini_bird]

Salut,

en y réflechissant un peu, l'astuce que j'ai proposée ne marche pas: un nombre irrationnel de ]1, 2[ n'a effectivement pas d'image dans P(N). C'est dommage, car la méthode de Quinto est séduisante et la bijection n'est mise en défaut que pour les nombres rationnels "duécimaux" (i.e. les nombres qui finissent par une infinité de 0, ou par une infinité de 1). De plus, ils représentent en proportion une faible partie des nombres de ]0, 1[ (et de P(N)).

On doit bien pouvoir trouver une astuce pour que ça fonctionne!