nombres complexes + comparaison de fonctions

[invite87a1ce41]

Bonjour,

Dans les complexes, je n'arrive pas à résoudre l'équation : Z² = i


dans un autre exercice, je ne sais pas comment prouver que, pour tout x > -1

ln ( 1+x ) est supérieure ou égale à x/(1x)

merci de votre aide
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[invite51f4efbf]

Bonjour,

Dans les complexes, je n'arrive pas à résoudre l'équation : Z² = i

Tu cherches les racines n-ièmes d'un nombre complexe a de module p et d'argument t. Si a = 0, il n'y a que 0, sinon ce sont les n nombres complexes dont le module vaut la racine nième de n, et dont l'argument est de la forme p/n + 2kpi/n, où k parcourt o,...,n-1. Tu as de quoi faire ta première question. Je te laisse réfléchir un peu plus pour la deuxième (et trouver la véritable expression, qui doit être 1/x )

[invite87a1ce41]

j'ai pas vraiment suivi, car apparement, tu donnes l'expression de Z sous la forme trigonométrique, et le jour de ce controle, on ne l'avait pas encore vu, donc il n'y en avait pas besoin.

Et est ce qu'il serait possible d'avoir une réponse en équations ?

[invite14ea0d5b]

Z = a + bi

donc (a+bi)^2 = i

et voila.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite980a875f]

Salut,




ou



ou

Ce n'est pas très détaillé mais ça va t'aider je pense.

[invite87a1ce41]

Z = a + bi

donc (a+bi)^2 = i

et voila.

ce n'est pas une solution ça

[invite87a1ce41]

Salut,




ou



ou

Ce n'est pas très détaillé mais ça va t'aider je pense.

Je comprends mieux là, mais j'aimerais savoir comment on peut résoudre l'équation sans la notation trigonométrique et la notation d'Euler ( parce qu'à l'époque, on ne les connaissait pas encore )

[inviteab2b41c6]

ce n'est pas une solution ça

Bein non mais t'es pas dispensé de réfléchir sur la piste donnée pour trouver la solution.
(a+ib)²=i implique que ... ???

[invite87a1ce41]

nan mais ça je l'ai déjà fait.

au mieux, j'aboutis à

a²-b²+i( 2ab-1 ) = 0

et là, je vois plus quoi faire

[inviteab2b41c6]

Si ca, ca vaut i, que peux tu dire?

[invite87a1ce41]

bah je sais pas si ( a+ib )² = i

c'est que ( a+ib )² est un imaginaire pur de module 1. Avec la notation d'Euler, j'arrive à résoudre, mais je n'y arrive pas seulement avec la forme a+ib

[invite00411460]

a²-b²+i( 2ab-1 ) = 0

à gauche tu as deux termes :

un terme réel : a²-b²
un terme imaginaire : 2ab-1

tu dis toi même que ça doit valoir 0
donc les parties réelles et imaginaires doivent être = à 0

a²-b² = 0
2ab-1 = 0

[invite87a1ce41]

ok, j'étais arrivé jusque là, mais on ne peut pas déterminer a et b ?

[invite14ea0d5b]

Tu peux procéder par substitution :

tu exprimes a en fonction de b à partir de i(2ab-1) = 0

et ensuite tu injectes ce a dans l'équation a^2-b^2 = 0 => tu auras une équation du deuxième degré avec plus qu'une seule variable b. Tu peux en tirer b, puis a. Essaie stp...

Bonne chance

A+

[invite87a1ce41]

alors a = 1/(2b)

(1/(2b))²-b²=0

1/4b²-b²=0
4b^4 = 1
b^4=1/4
(b²)² - ( 1/2 )² =0
( b²-1/2)x(b²+1/2)=0
( b-1/Racine2) x(b+ 1/racine2)x(b²+1/4)=0

soit b=1/racine2
ou b = -1/racine2

pareil pour a

je me trompe ?

[invite14ea0d5b]

c'est juste
ah d'ailleurs c'était pas la meilleure méthode ^^' c'était plus facile de substituer la première dans la deuxième dsl

a+