Géométrie dans l'espace

[invite6ace2e0b]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice à faire mais je bloque...

L'énoncé est :
L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j;k).
On considère les points A(-1;3;1); B(-2;1;1); C(4;-2;-2); D(-5;0;2).
Justifier que ABC est un triangle rectangle.
Montrer que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Montrer que A, B, C et D sont coplanaires. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

J'ai trouvé que AB²+BC²=44 et AC²=44. Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en B.
Ensuite, j'ai trouvé les coordonnées du vecteur AB : (4;-2;-2) et du vecteur CD : (-6;3;3). Donc vecteur AB= -3/2 * vecteur CD sont les vecteurs sont colinéaires.
Par contre maintenant je bloque pour montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.

Merci d'avance pour votre aide
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[invite332de63a]

Bonjour, le fait que tes deux vecteurs soient colinéaires t'assure que tes points sont coplanaires, comme A,B et C sont dans un même plan, comme AB=-3/2 CD (tous des vecteurs) cela t'assure que D est dans le plan formé par A,B et C.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Que dirais-tu de faire la même chose pour les vecteurs AD et BC ?
Ensuite, calcule les normes de chacun des vecteurs et conclus.

Duke.

[invite6ace2e0b]

Bonjour, le fait que tes deux vecteurs soient colinéaires t'assure que tes points sont coplanaires, comme A,B et C sont dans un même plan, comme AB=-3/2 CD (tous des vecteurs) cela t'assure que D est dans le plan formé par A,B et C.

D'accord j'ai compris la technique mais cela suffit il a montrer que ces points sont coplanaires ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ace2e0b]

Bonsoir.

Que dirais-tu de faire la même chose pour les vecteurs AD et BC ?
Ensuite, calcule les normes de chacun des vecteurs et conclus.

Duke.

Je trouve que AD=racine de 26 et BC= racine de 20, que doit je conclure ?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

On considère les points A(-1;3;1); B(-2;1;1); C(4;-2;-2); D(-5;0;2).
... les coordonnées du vecteur AB : (4;-2;-2) et du vecteur CD : (-6;3;3)
...

Avec les coordonnées des points que tu nous proposes, je ne trouve pas ça pour les coordonnées des vecteurs AB et CD.

N'y aurait-il pas une confusion entre les points ?...

Duke.

[invite6ace2e0b]

Bonjour.Avec les coordonnées des points que tu nous proposes, je ne trouve pas ça pour les coordonnées des vecteurs AB et CD.

N'y aurait-il pas une confusion entre les points ?...

Duke.

Ah oui effectivement je me suis trompée désolée... Les points sont donc A(-1;3;1); B(3;1;-1); C(1;-3;-1) et D (-5;0;2)

[Duke Alchemist]

Re-

On oublie ma remarque débile du message #3

Tu as montré que le triangle ABC est rectangle en B.
La droite (CD) est parallèle à (AB) et non confondue (puisque BC est non nul).
Ne vois-tu pas la nature de ABCD ? As-tu fait un dessin ?
Oui je sais, il faut le démontrer

Duke.

[invite6ace2e0b]

Re-

On oublie ma remarque débile du message #3

Tu as montré que le triangle ABC est rectangle en B.
La droite (CD) est parallèle à (AB) et non confondue (puisque BC est non nul).
Ne vois-tu pas la nature de ABCD ? As-tu fait un dessin ?
Oui je sais, il faut le démontrer

Duke.

C'est un trapèze ? mais comment je le justifie ?