Vecteurs : Dépendance - Coplanairité.

[The_Anonymous]

Bonjour à tous! =)

Je me demandais pourquoi il fallait qu'au moins deux vecteurs soient dans un même plan pour qu'un nombre de vecteurs soient linéairement dépendants. Sauriez-vous m'expliquer pourquoi?

En d'autre termes, pourquoi vecteurs dans des différents plans sont linéairement indépendants?

Et si vous arrivez, faites l'expliquation la plus simple possible, je débute dans les vecteurs, rien ne sert de m'expliquer via des calculs d'intégrales hein ^^.

Bref, merci d'avance pour vos réponses !

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas ce que tu racontes, qui est sans rapport avec les maths, pris au mot.

Dans un plan, deux vecteurs peuvent être colinéaires (linéairement dépendants), ou non (linéairement indépendants). 3 vecteurs sont toujours linéairement dépendants. S'il y en a un qui est nul, c'est évident. Il vaut 0 fois l'un plus 0 fois l'autre. Sinon, tu en prends deux; s'ils sont colinéaires, c'est gagné, sinon, le troisième est la somme de ses "projections" sur les directions des deux autres, qui sont colinéaires aux vecteurs choisis.

Dans l'espace (3 dimensions), de la même façon 4 vecteurs sont toujours linéairement dépendants.

Cordialement.

[pallas]

que signifie dans vos propos la notion de plan ??

[The_Anonymous]

@pallas : euh... Je ne suis pas expert, mais je suppose qu'on définit la notion de plan que j'ai utilisé comme étant un plan dans la géométrie euclidienne... Je ne sais pas si cela répond à votre question...

En gros, si je reviens à la vieille "définition" d'un plan qu'on avait décrite, il s'agit de :

"Un plan est la donnée d'un ensemble de points et de droites, qu'on note ."

J'espère avoir répondu à votre question...

@gg0 : Merci déjà pour votre réponse!

En fait, j'ai à dire pourquoi trois vecteurs dans sont linéairement dépendants...

J'ai compris votre logique de démonstration :

Si un vecteur est nul, j'ai compris;

Si parmi les trois, deux sont colinéaires, j'ai compris;

Mais ce que je ne comprends pas, c'est votre explication :

Sinon, le troisième est la somme de ses "projections" sur les directions des deux autres, qui sont colinéaires aux vecteurs choisis.

J'ai beau lire et relire, je ne vois pas ce que vous voulez dire... Si j'essaie de re-traduire, vous voulez dire qu'on pourait décrire le troisième vecteur comme une somme où et sont des projections sur les directions ( mais quelles directions?!?!), et ces projections sont colinéaires aux autres vecteurs... Je m'embrouille un peu.. Pourriez-vous me ré-expliquer s'il vous plaît, j'ai du mal... Merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

Et j'ai aussi à prouver l'équivalence suivante :

Trois vecteurs dans sont linéairement dépendants Un des trois vecteurs se trouve dans le même plan que les deux autres.

J'ai commencé la preuve ainsi :

" " : On a deux cas :

- Les trois vecteurs sont dans le même plan : Linéairement dépendants par #4 qui est à prouver =)

- Pour la cas où il y a deux vecteurs dans un même plan, et le troisième dans un deuxième plan, je ne sais pas comment procéder... Pourriez-vous m'aider?

" " : On a pour trois vecteurs , et que . Mais comment en déduire que ces trois vecteurs sont dans deux plans au maximum? Je ne sais pas non plus...

Pouvez-vous m'expliquer?

Merci énormément!

Cordialement =)

[gg0]

message #4 :

Fais un dessin : les deux vecteurs "de base sont et où N n'est pas sur (AM). Soit le troisième vecteur; La parallèle à (AM) passant par P coupe (AN) en Q. est colinéaire à et est colinéaire à .

Message #5 :

Qu'est-ce que tu racontes avec 2 plans ? Le même plan, ça n'en fait qu'un seul !!
Je ne comprends rien à ce que tu fais :
" " : on sait qu'un des vecteurs est dans un plan contenant les deux autres. On applique la preuve dans le plan, puisqu'on est dans un plan.
" " : Tu traduis faussement la dépendance linéaire. Revois ce que c'est. Si tu n'as que la définition de l'indépendance, écris-la, on t'aidera à la nier.

Cordialement.

NB : Tu es vraiment en collège ou lycée ??

[The_Anonymous]

Je viens directement à votre "NB", qui pour moi est un peu du "foutage de gueule", désolé de ne pas avoir un assez bon niveau pour vous parler.... " --' " Je suis déçu par votre réaction, ok je suis pas spécialement doué mais les cours que je suis vont particulièrment vite et il n'est pas toujours super facile de comprendre toute la matière... Je vous fais un MP pour s'expliquer personnellement, ce lieu n'étant pas fait pour, mais il serait de convenance de comprendre que je n'ai pas un excellent niveau et donc qu'il faut parfois m'expliquer en revenant à la base, même si cela peut vous paraître évident.

Commentaire fait, je reviens au sujet de ce topic...

Partie "1" :

J'ai fait le schéma que vous avez proposé, merci beaucoup, je comprends cette fois ce que vous dites, cependant, comment le fait que soit colinéaire à et que à montre que les trois vecteurs sont dépendants? Peut-être utilise-t-on Chasles pour calculer , mais cela risquerait d'être encore faux, et vous vous moqueriez alors de mon niveau... (Je sais, je ne suis pas d'hyper bonne foi, mais votre courte phrase m'a beaucoup touché...).

Partie "2" :

Il se pourrait que j'aie mal compris l'énoncé... Je vous retranscris à la lettre le même tel qu'il est écrit dans mes exerccies :

"Trois vecteurs de sont linéairement dépendants si et seulement si l'un d'entre eux se trouve dans le même plan que les deux autres."

Cela signifie donc que "les deux autres" sont dans le même plan? Et donc, les trois vecteurs sont dans le même plan? Je ne sais pas vous, mais je trouve peu clair...

Mais alors dans ce cas, l'équivalence est fausse puisque trois vecteurs dans deux plans différents peuvent être linéairement dépendants, non? (Une équivalence est fausse quand elle ne traîte pas tous les cas, non?)

Bon, apparemment elle est correcte...

Pour rester attaché à votre message, oui du coup le sens est correcte avec ce que l'on a appliqué à la partie 1.

Pour le sens , dans mon cours, il est dit que trois vcteurs sont linéairement dépendants s'il l'un deux peut s'écrire comme une combinaison linéaire des autres, donc que pour trois vecteurs , tel que ...

Donc ce serait plutôt seulement deux lambdas plutôt que trois, si je crois avoir trouvé l'erreur de mon précédent message...

Quant à l'indépendance linéaire, nous avons simplement dit que des vecteurs linéairement indépendants ne sont pas dépendants (Un peu logique oui, mais pas d'autre définition...)

Pour écrire une définition, je dirais donc que pour trois vecteurs , ces trois vecteurs ne sont pas linéairement indépendants si et seulement si, pour :

.

Je me suis un peu aidé, mais j'espère que c'est juste.

Après pour le nier... Yay, je vous laisse m'aider, j'ai pas trop d'idée...

Voilà, merci beaucoup de m'aider, après relecture j'espère que je n'ai pas mal interpreté votre NB (dans quel cas je serais... confus...).

Cordilement,

Brazeor

[gg0]

Pourquoi t'énerver ?

Je te pose la question, simplement parce que ces sujets ne sont pas au programme des collèges lycées en France, donc j'imaginais que tu es dans le supérieur. Je ne mésestime pas ton niveau (que je ne connais pas, je n'ai pas encore eu ton MP [ah, si, il vient d'arriver]), je suis seulement surpris : ces sujets se rencontrent habituellement dans le forum "supérieur".

"mais cela risquerait d'être encore faux" ?? Pourquoi te dévaloriser. D'ailleurs, la relation de Chasles est toujours vraie, non ? Et c'est bien l'idée.

"Cela signifie donc que "les deux autres" sont dans le même plan? Et donc, les trois vecteurs sont dans le même plan?" Ben oui, c'est ce qui est dit.
"Je ne sais pas vous, mais je trouve peu clair..." ?? Pourtant c'est écrit très précisément, de façon à donner une méthode ...

"Mais alors dans ce cas, l'équivalence est fausse puisque trois vecteurs dans deux plans différents peuvent être linéairement dépendants, non? "
Non, trois vecteurs peuvent être dans des tas de plans différents, la question est de savoir s'ils se trouvent dans un même plan ou non, s'il existe ou non un plan qui les contient tous. le contraire de "dans un même plan" n'est pas " dans deux plans". Un vecteur est dans une infinité de plans.

Pour la dépendance linéaire tu as utilisé une idée classique, très efficace, sinon, on peut dire que trois vecteurs sont linéairement indépendants si chacun d'eux ne peut pas être écrit comme combinaison linéaire des deux autres, comme somme de multiple des deux autres.
mais tu avais une définition de la dépendance linéaire, pourquoi vouloir la nier d'abord puis nier la négation. Vu ce que tu avais écrit, j'ai cru que tu n'avais que la définition de l'indépendance.
Donc sers toi de : "trois vecteurs sont linéairement dépendants s'il l'un deux peut s'écrire comme une combinaison linéaire des autres".

Cordialement.

[The_Anonymous]

Que dire... Désolé, je suis confus, j'ai mal interpreté votre NB, je me suis toujours dit que ce que je postais entrait dans "Collège&Lycée", je posterai peut-être dans "Supérieur" la prochaine fois, et encore désolé pour toute ma discorde due à mon incompréhension de votre message.

Bref, bref, bref...

Toujours pour la partie 1, donc l'idée est de dire qu'on a la somme AQ+QP = AP (je me passerai de LaTex, si vous le voulez bien... ), mais je n'ai toujours pas compris pourquoi alors cela montre-t-il que que AP, AM et AN sont linéairement dépendants...

Pourriez-vous m'expliquer comment on passe de "AQ colinéaire à AN et QP colinéaire à AM" à "AP, AM, AN linéairement dépendants" ?

Partie 2 :

Donc on doit trouver (toujours les mêmes conditions) :

les trois vecteurs sont dans le même plan.

Mais comment fait-on? Mhhh... Je ne serais que trop dire... Pourriez-vous m'aider?

Merci d'avance!

Et encore désolé gg0...

Cordialement =)

[gg0]

Partie 1 : Il suffit d'exploiter les colinéarités (deux vecteurs de même direction sont colinéaires, linéairement dépendants)
partie 2 :
Attention "les trois vecteurs sont dans le même plan." Non ! "les trois vecteurs sont dans un même plan."
Ils peuvent être tous trois dans plusieurs mêmes plans.
Techniquement, tu exploites les différents cas, suivant que v et w sont ou non colinéaires. S'ils le sont, les trois le sont, et n'importe quel plan contenant leur direction les contient (cas particulier : les trois sont nuls, n'importe quel plan les contient). S'ils ne le sont pas, tu prends un plan les contenant, puis tu prouves (inverse de la partie 1) qu'il contient u.

Je suis un peu gêné par le manque de contexte. J'ai utilisé de la géométrie classique (*), mais en algèbre linéaire, avec des plans vectoriels, ce sont des évidences.

Cordialement.

(*) je pensais aux programmes "lycée" actuels en France.

[The_Anonymous]

Quant à mon niveau au sujet des vecteurs, nous avons bien vu que le K-espace vectorielle est un ensemble V muni de deux lois

et .

Ainsi que ces propriétés :

(i) (V,+) est un groupe abélien;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) ;
(v) .

Ainsi que le théorème "L'ensemble des vecteurs de forme un -espace vectoriel".

Mais pas de preuve, et je suis pas sûr d'avoir tout compris...

Mais je comprends le sens de votre méthode, mais... je n'ai pas d'idée quant à comment prouver que si un plan contient et , alors ce plan contient aussi ... Je sais je n'aide pas beaucoup, mais j'ai du mal à voir là...

De l'aide s'il vous plaît?
Merci infiniement!

Cordialement

[gg0]

C'est le même schéma que pour le 1. mais on construit dans un ordre différent. ça c'est pour l'aspect géométrie.

Au point de vue algèbre linéaire pure, il suffit de remarquer qu'une combinaison linéaire de vecteurs d'un sous-espace vectoriel F est encore dans F (*), donc si v et w sont dans un même plan vectoriel F, u y est aussi. Or il existe toujours un plan vectoriel contenant 2 vecteurs.

Je ne sais pas sur quel terrain aller : As-tu vu les notions de sous-espace vectoriel, de droite vectorielle, et de plan vectoriel. dans ce cas, l'algèbre suffit. Sinon, il faut revenir aux vecteurs géométriques et aux plans affines.

Cordialement.

(*) caractérisation classique des sev.

[The_Anonymous]

Euh.. Non, désolé, j'ai regardé, et je pense plutôt qu'il faut utiliser les vecteurs "géométriques" et les plans affines.

Je pense donc à la même idée qu'en "1", mais je ne vois pas d'où partir...

Une suggestion?

Merci !

[gg0]

Je te l'ai dit. Tu représentes tes vecteurs avec des points, la même origine pour v et w, puis tu utilises les parallélismes (deux droites parallèles sont coplanaires). Je ne vois pas ce qui t'arrête.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Oh oui, désolé, une bonne relecture m'a permis de conclure!

Merci beaucoup pour votre soutien, et à la prochaine!

Chaleureusement =)