Combinatoire

[matheome]

Bonjour
on a dans une urne 10 boule 4 blanches et 6 noires ,les boules de même couleurs sont indiscernables,
on tire 3 boules, et on veux savoir combien de façon peut on avoir 3 boules blanches et une boule noire
le prof a dit que dans cas ou les boules de même couleur sont indiscernable alors c'est une combinaison ,et dans le cas ou les boules sont numérotées alors c'est un arrangement ,ça me parait tellement absurde j'ai lis dans votre forum une réponse a un sujet semblable que
si on tire les boules successivement alors c'est un arrangement ,et si on tire simultanément 3 boules alors c'est combinaison
quel qu'un peut m'expliquer ça et est ce que mon prof a tord
merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

Ton prof s'est un peu compliqué la vie. Mais c'est une façon de décoder les énoncés.
Tout d'abord le mot "indiscernable" n'a pas grand sens pour les objets courants (boules, dés,...); il en a par contre pour les particules élémentaires et aboutit à une statistique très paticulière, dite de Bose-Einstein. Je n'en parle pas. Pour des boules, si on veut les compter, il faut bien les discerner si on veut pouvoir dire qu'il y en a plusieurs !
L'idée est de ne pas s'inquiéter de l'ordre dans lequel on compte les boules. En cela tu as raison : si les boules blanches sont numérotées de 1 à 4 et les noires de 5 à 10, si on ne considère que le nombre de blanches, on obtiendra le même résultat en prenant des combinaisons ou en prenant des arrangements (le calcul sera différent). Cela revient à choisir l'univers, les combinaisons de 3 boules étant équiprobables.
Même idée pour le passage de tirage global à tirages successifs sans remise : Si les numéros des boules tirées et l'ordre de tirage n'interviennent pas, on peut utiliser un univers de combinaisons; d'ailleurs, dans un tirage global, on ne prend quasiment jamais trois boules d'un coup, on en prend une, puis 2 puis trois, ou 2, puis une troisième, ou 4 et on en laisse retomber une, ... ce qui compte c'est qu'à la sortie, l'ordre de tirage est oublié. Par contre, un tirage avec remise permet de tirer 2 fois la même boule, on est dans des univers complétement différents.
Dans tout cela, il est essentiel de savoir quelle épreuve est faite, mais aussi quelles questions on se pose. Par exemple "on tire 3 boules, et on veux savoir combien de façon peut on avoir 3 boules blanches et une boule noire " ne demande aucun calcul, car ça n'arrivera jamais (d'avoir 4 boules en en tirant 3 ).

Cordialement.

[gg0]

Je complète un peu :

En fait, j'ai surtout parlé de probabilités, alors que tu parlais de dénombrement. mais l'idée est la même :
"on veux savoir combien de façon peut on avoir 3 boules blanches et une boule noire" : En fait, ici, tout dépend de ce qu'on appelle "avoir 3 boules blanches et une boule noire". Si on s'intéresse seulement à la couleur, sans s'occuper de quelle boule est effectivement tirée, on a C_n⁴ possibilités. Si on s'intéresse à la présence de telle ou telle boules, c'est le nombre d'arrangements qui interviendra. C'est là que le mot "indiscernable" (plutôt indiscernées) intervient.
Idem pour les tirages successifs sans remise.

Il est à noter que dans l'application aux probabilités, il y a souvent le choix (plusieurs univers possibles) et que dans les dénombrements mathématiques (par exemple quand on estime le temps de fonctionnement d'un algorithme), il est rare qu'on ait un doute.

Cordialement.

[matheome]

merci
et désolé j'ai fais une erreur 2 boule blanches et 1 noire
donc d'après toi l'énoncé de l'exo est incomplet on doit dire si l'ordre est important ou non dans l'énoncé de l'exo ??
?? merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui,

l'énoncé demande une interprétation (généralement pas nécessaire dans un travail plus général). Suis pour cela les conseils de ton prof.

[matheome]

Merci pour la réponse