Dérivabilité et taux d'accroissement

[Caeli]

Bonjour,
J'ai un problème avec deux données de mon cours (et leur application):

la première est :
Hypothèse: a appartient au domaine de définition de f
Conclusion: le taux d'accroissement en a admet une limite finie égale à f'(a) ==> f dérivable en a

la seconde :
"f dérivable en a n'implique pas que le taux d'accroissement en a admette une limite finie"

Pourtant dans les exercices on utilise toujours la limite du taux d'accroissement pour montrer la dérivabilité d'une fonction en un point. Est-ce que j'ai fait une erreur en recopiant la seconde propriété ? Ou bien est-ce qu'il y a une autre méthode pour démontrer la dérivabilité ?

Merci pour votre aide.
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[PA5CAL]

Bonjour

Relis bien ce que tu as écrit, et qui est tout-à-fait correct, et considère-le de façon logique.

La première :

f'(a) limite finie du taux d'accroissement en a ⇒ f dérivable en a

est de la forme :

(proposition A) implique (proposition B)

Et c'est ce que tu dis toi-même utiliser pour démontrer la dérivabilité, avec raison.

La seconde rappelle que :

(proposition B) n'implique pas (proposition A)

ce qui est vrai également, et parfaitement compatible avec la première, car il s'agit seulement d'une implication, et non pas d'une équivalence.

[gg0]

Bonjour.

Si la dérivée est définie comme la limite finie du taux d'accroissement, il s'agit bien d'une équivalence.

Hors contexte (comment sont définis dérivée et taux d'accroissement), je ne me prononcerai pas plus.

Cordialement.

[Caeli]

Le problème, c'est que la seconde remarque signifie qu'il y a des cas où f est dérivable sans pourtant que le taux d'accroissement admette de limite, et dans ce cas on passerait à coté de la dérivabilité si on cherchait à la démontrer par le taux d'accroissement...

[A voir en vidéo sur Futura]

[PA5CAL]

C'est exact. Le fait est que si f dérivable en a, cela n'implique pas que f' soit définie au voisinage de a, ni même, si elle l'est, qu'elle ait une limite.

L'approche de l'accroissement qui t'est enseignée ici permet de régler le problème de la dérivabilité dans 99,99999 % des cas, et c'est très suffisant pour l'usage qu'on peut en avoir (puisque la connaissance de la dérivée ne s'avère réellement utile que lorsqu'on arrive à la calculer de cette manière).

Pour le reste, ce ne sont que des fonctions dites « pathologiques », que tu pourras peut-être approcher un jour si tu te lances dans des études supérieures, mais qui n'ont pas vraiment d'intérêt à part peut-être constituer des curiosités mathématiques. C'est comme ça, il faut vivre avec.

[PA5CAL]

J'imagine que cela peut susciter beaucoup de questions, mais il me paraît difficile de fournir une explication simple en des termes compatibles avec ce qu'on apprend au lycée.

Si je te dis par exemple qu'il existe même des fonctions qui sont continues partout et dérivables nulle part (ce qui est humainement difficile à concevoir), alors tu comprendras qu'il faut déjà un sérieux bagage en mathématiques avant de pouvoir acquérir les notions nécessaires pour comprendre comment cela est possible.

Donc si ça t'intéresse, prends patience, et en attendant fais-toi une raison.

[DSCH]

C'est exact. Le fait est que si f dérivable en a, cela n'implique pas que f' soit définie au voisinage de a, ni même, si elle l'est, qu'elle ait une limite.

L'approche de l'accroissement qui t'est enseignée ici permet de régler le problème de la dérivabilité dans 99,99999 % des cas, et c'est très suffisant pour l'usage qu'on peut en avoir (puisque la connaissance de la dérivée ne s'avère réellement utile que lorsqu'on arrive à la calculer de cette manière).

Pour le reste, ce ne sont que des fonctions dites « pathologiques », que tu pourras peut-être approcher un jour si tu te lances dans des études supérieures, mais qui n'ont pas vraiment d'intérêt à part peut-être constituer des curiosités mathématiques. C'est comme ça, il faut vivre avec.

Euh… On ne parle pas de limite de la dérivée f' en a (qui en effet n’existe pas toujours), mais de limite (finie) du taux d’accroissement en a, dont l’existence constitue la définition même de la dérivabilité d’une fonction en a. Études supérieures ou pas, cette limite existe et est finie dans 100% des cas où la fonction est dérivable en a, non ?

[PA5CAL]

cette limite existe et est finie dans 100% des cas où la fonction est dérivable en a, non ?

La définition qui est normalement donnée, c'est que si la limite du taux d’accroissement en un point existe et est finie, alors la fonction est dérivable et sa dérivée est égale à cette limite. Non seulement rien ne dit que la réciproque soit vraie, mais on indique au contraire qu'elle est fausse a priori (du moins en l'absence de précisions exhaustives sur les hypothèses de départ, lesquelles sont généralement passées sous silence avant un niveau d'étude avancé). Comme souvent en mathématiques, les termes recouvrent des notions qui peuvent être étendues bien au-delà de ce qu'on enseigne au collège ou au lycée.

[gg0]

Soyons sérieux !

Soit la définition de la dérivée est faite avec la limite du taux d'accroissement, et c'est une équivalence (même si on ne l'écrit pas toujours formellement). Et si "dérivable" veut dire encore "qui a une dérivée", alors dérivable est équivalent à taux d'accroissement fini.

Soit on utilise une autre définition de la dérivabilité (et éventuellement d'autres objets qui généralisent la fonction) et on parle d'autre chose !!

Moi, je parie pour une incompréhension quelque part ...

Cordialement.

NB : L'existence de fonctions continues nulle part dérivables n'a rien à voir avec la question.
NBB : Caeli n'a jamais donné la définition de la dérivée de son cours !!!

[PA5CAL]

NB : L'existence de fonctions continues nulle part dérivables n'a rien à voir avec la question.

C'était juste pour faire comprendre que certaines notions sont difficiles à comprendre en l'absence de certains pré-requis, ce qui est la raison pour laquelle je ne développerai pas d'explication.

NBB : Caeli n'a jamais donné la définition de la dérivée de son cours !!!

Très certainement.

Mais moi je réponds à sa question, telle qu'elle est posée, et qui fait notamment apparaître que :

f dérivable en a n'implique pas que le taux d'accroissement en a admette une limite finie

et non pas à la définition restrictive telle qu'elle a dû probablement être donnée dans son cours (quoique, on ne sait jamais... ).

[DSCH]

Mais moi je réponds à sa question, telle qu'elle est posée, et qui fait notamment apparaître que :et non pas à la définition restrictive telle qu'elle a dû probablement être donnée dans son cours (quoique, on ne sait jamais... ).

Mais en quoi cette définition est-elle restrictive ? Quelle est votre définition de la dérivabilité ? Quant à vouloir distinguer implication et équivalence quand on parle d’une définition, cela semble une farce… Une définition se rédige habituellement sous la forme « on dit que *nom de la définition* si *propriété portant ce nom* » sans avoir besoin de préciser « si et seulement si » : cela va de soi, lorsqu’on définit quelque chose, que le quelque chose n’existe pas en dehors de sa définition.

[PA5CAL]

Une définition se rédige habituellement sous la forme « on dit que *nom de la définition* si *propriété portant ce nom* » sans avoir besoin de préciser « si et seulement si » : cela va de soi, lorsqu’on définit quelque chose, que le quelque chose n’existe pas en dehors de sa définition.

Non, justement pas, du moins pas dans les petites classes où l'on apprend à reconnaître les objets mathématiques comme les objets de la vie courante, c'est-à-dire par l'exemple.

Dire que ceci ou cela s'appelle comme ça, ça n'empêche absolument pas qu'autre chose (qu'on ne connaît pas encore et qu'on découvrira plus tard) puisse s'appeler pareillement, pour des raisons qui paraîtront ensuite évidentes. Ce point de vue n'est bien entendu pas acceptable d'un point de vue purement mathématique, mais c'est pourtant ce qui se passe.

Comme on enseigne que les mathématiques et leur formalisation sont une science exacte, on s'habitue naturellement à écrire des définitions qui excluent toute autre alternative aux cas traités... sauf que, dans les petites classes, l'écriture de ces définitions (qui se voudrait précise et exhaustive) entre ensuite parfois en conflit avec ce qu'on découvre après, parce que les précisions nécessaires n'y figuraient pas encore faute de connaissances suffisantes (problème de conceptualisation), ou parce qu'elle devrait interdire de désigner de la même façon de nouveaux objets similaires (problème de vocabulaire).

Par exemple, au collège on n'hésite pas à écrite les racines quatrièmes de 16 : (x⁴=16) ⇔ (x=2 ou x=-2) ... sans plus de précision (note bien l'équivalence). Et un peu plus tard, on apprend que pour que cela reste vrai, on doit absolument indiquer dans quel ensemble on se place (ℤ, ℚ ou ℝ), ou bien qu'on doit rajouter deux racines complexes (2i et -2i) à la liste.

Plus généralement, on commence par nous faire découvrir des objets mathématiques au travers de définitions qui se voudraient a priori complètes et rigoureuses, ce qui est somme ce qu'on attend pour apprendre sereinement. Mais on s'aperçoit ensuite qu'il ne s'agissait parfois que d'idées aux contours encore assez flous, pour nous faire en quelque sorte une entrée en matière, car au fur et à mesure que l'univers mathématique nous apparaît plus vaste et plus complexe, on apprend que ces définitions nécessitent d'être précisées et/ou augmentées, soit pour lever certaines inexactitude, soit pour étendre la signification de ces notions.


Cela dit, j'imagine mal comment, d'un point de vue pédagogique, on pourrait procéder autrement.

Pour l'anecdote, je me rappelle que la question de la dérivabilité m'avait quelque peu gêné quand (il y a trente ans) j'étais en terminale et en première année de prépa, où mes profs de maths ont évoqué le problème de manière informelle, tout en nous disant qu'« on verrait plus tard ». Avec le recul, je me suis rendu compte de cette façon parfois incomplète de nous enseigner certaines notions de mathématiques au début de la scolarité, sans qu'on le fasse toujours apparaître, et que le fait de nous le cacher n'avait finalement que des effets bénéfiques.


Donc, pour en revenir à la définition donnée dans le sujet, Caeli a tout intérêt à considérer qu'il s'agit d'une équivalence et non pas d'une simple implication, de sorte que la définition apparaisse comme complète, et à oublier la seconde proposition qui n'a pour le moment aucun intérêt.

[DSCH]

Dire que ceci ou cela s'appelle comme ça, ça n'empêche absolument pas qu'autre chose (qu'on ne connaît pas encore et qu'on découvrira plus tard) puisse s'appeler pareillement, pour des raisons qui paraîtront ensuite évidentes. Ce point de vue n'est bien entendu pas acceptable d'un point de vue purement mathématique, mais c'est pourtant ce qui se passe.

Non, non et non. J’enseigne justement dans de « petites classes » (entre seconde et terminale), ce n’est pas pour cela que je vais enseigner de travers. Ce serait mépriser mes élèves. Une définition ne se découvre pas, elle se décrète ! C’est pourquoi il est saugrenu d’employer « si et seulement si » dans une définition. On ne risque pas de découvrir autre chose qui ne respecte pas la définition ! Tout au plus, on peut trouver la définition mal adaptée et décider d’en changer. Ce n’est pas une découverte mais un nouveau décret, qui se substitue au précédent. Ce qui, en passant, ne me semble pas être le cas de la définition de la dérivabilité d’une fonction de la variable réelle (vous n’en avez en tout cas toujours pas donné une différente de la définition usuelle avec le taux d’accroissement).

Par exemple, au collège on n'hésite pas à écrite les racines quatrièmes de 16 : (x⁴=16) ⇔ (x=2 ou x=-2) ... sans plus de précision (note bien l'équivalence). Et un peu plus tard, on apprend que pour que cela reste vrai, on doit absolument indiquer dans quel ensemble on se place (ℤ, ℚ ou ℝ), ou bien qu'on doit rajouter deux racines complexes (2i et -2i) à la liste.

Mais cela n’a rien à voir. Vous confondez définition et théorème. L’affirmation « (x⁴=16) ⇔ (x=2 ou x=-2) » n’a en effet pas de sens sans préciser ce que désigne x ; en précisant dans quel ensemble il se trouve, cela peut devenir une affirmation vraie, autrement dit un théorème. Rien à voir avec une définition, qui consiste juste à décréter qu’on convient de nommer de telle ou telle façon telle ou telle chose.

Pour revenir à la question de l’auteur du fil, plutôt que de l’embarquer sur la confusion entre implication et équivalence (en effet classique chez les élèves, mais hors sujet ici), il suffisait de lui faire remarquer qu’il y avait manifestement une erreur dans son cours (ou peut-être dans sa lecture de son cours).

[DSCH]

Pour l'anecdote, je me rappelle que la question de la dérivabilité m'avait quelque peu gêné quand (il y a trente ans) j'étais en terminale et en première année de prépa, où mes profs de maths ont évoqué le problème de manière informelle, tout en nous disant qu'« on verrait plus tard ». Avec le recul, je me suis rendu compte de cette façon parfois incomplète de nous enseigner certaines notions de mathématiques au début de la scolarité, sans qu'on le fasse toujours apparaître, et que le fait de nous le cacher n'avait finalement que des effets bénéfiques.


Donc, pour en revenir à la définition donnée dans le sujet, Caeli a tout intérêt à considérer qu'il s'agit d'une équivalence et non pas d'une simple implication, de sorte que la définition apparaisse comme complète, et à oublier la seconde proposition qui n'a pour le moment aucun intérêt.

Je n’en peux plus d’attendre pour savoir enfin quel est ce problème qu’on m’aurait caché jusqu’alors, et voudrais bien qu’on m’explique l’intérêt de la seconde proposition, ayant personnellement du mal à voir un intérêt dans une proposition qui me semble fausse ! Quelle est donc cette définition secrète de la dérivabilité d’une fonction de la variable réelle ?

[PA5CAL]

J'ai oublié une partie de ma précédente réponse...

On peut définir plus généralement la dérivée, en considérant par exemple que la dérivation est l'opération inverse de l'intégration. L'intégration de certaines fonctions "pathologiques" (assimilables à des "bruits" notamment) permet de trouver des fonctions dont la fonction dérivée est définie et connue (vu que c'est la fonction de départ qui a été intégrée), mais impossible à calculer par des limites de taux d'accroissement.

[PA5CAL]

Tout au plus, on peut trouver la définition mal adaptée et décider d’en changer. Ce n’est pas une découverte mais un nouveau décret, qui se substitue au précédent.

Mouais... Toute la question est le point de vue qu'on porte sur ce changement. Comment expliquer aux élèves que ce qu'on a nommé et défini à un moment ne correspond pas à ce qui porte exactement le même nom et recouvre mais sans l'égaler la même notion deux ans après ?!

En quelque sort des mathématiques à géométrie variable tant qu'on n'est pas parvenu à exprimer toutes les hypothèses qui restreignent de façon correcte les notions qu'on se propose d'inculquer.

Vous confondez définition et théorème. L’affirmation « (x⁴=16) ⇔ (x=2 ou x=-2) » n’a en effet pas de sens sans préciser ce que désigne x

Désolé, je suis en manque d'inspiration, et l'heure tardive ne m'aide pas à m'exprimer avec toute la rigueur voulue. Il n'empêche que le fond du problème est bien là : au début on fait des raccourcis, on ne parle pas de toutes les hypothèses nécessaires, parce que le niveau de connaissances ne le permet pas encore.

C'est un fait, et il n'y a aucune affaire de mépris envers les élèves là-dedans.

Pour revenir à la question de l’auteur du fil, plutôt que de l’embarquer sur la confusion entre implication et équivalence (en effet classique chez les élèves, mais hors sujet ici), il suffisait de lui faire remarquer qu’il y avait manifestement une erreur dans son cours (ou peut-être dans sa lecture de son cours).

Je suis aussi d'avis qu'il vaut mieux laisser tomber l'affaire pour éviter toute confusion. Il n'empêche que rien ne me choque dans l'énoncé qui a été fait. Pour moi, l'erreur n'est pas confirmée.

[DSCH]

J'ai oublié une partie de ma précédente réponse...

On peut définir plus généralement la dérivée, en considérant par exemple que la dérivation est l'opération inverse de l'intégration. L'intégration de certaines fonctions "pathologiques" (assimilables à des "bruits" notamment) permet de trouver des fonctions dont la fonction dérivée est définie et connue (vu que c'est la fonction de départ qui a été intégrée), mais impossible à calculer par des limites de taux d'accroissement.

Je demandais une définition, et vous me répondez par une vague idée. Si vous faites référence à la dérivation au sens des distributions, aux espaces de Sobolev, etc., cela me semble hors-sujet : l’auteur du fil demandait la définition de la dérivabilité d’une fonction d’une variable réelle en un réel a ; les distributions ne sont même pas définies point par point… On ne peut définir leur dérivée que globalement.

Une définition, cela doit être précis. Que signifie « impossible à calculer par des limites de taux d'accroissement » ? Que le calcul est trop difficile (ce qui n’a rien à voir avec la définition) ? Ou que le taux d’accroissement n’admet pas de limite en a (auquel cas, par définition, la fonction n’est pas dérivable en a, il n’y a rien à y faire) ?

On peut, et c’est une très jolie théorie, dériver une « fonction » très irrégulière (au point d’éventuellement ne même pas être une vraie fonction) au sens des distributions, mais prétendre qu’il existe une définition subtile de la « dérivabilité au sens des distributions » me paraît curieux : la définition est on ne peut plus simple, puisque toutes les distributions sont indéfiniment « dérivables » au sens des distributions…

C’est une démarche fondamentale en mathématiques, d’essayer de généraliser des notions connues afin d’en étendre le champ d’application. Cela ne consiste pas à déclarer fausses les définitions précédentes. La définition de la dérivabilité d’une fonction d’une variable réelle en un réel a que j’utilisais en tant que thésard est la même que celle que j’avais apprise en première S (à ceci près, je vous le concède volontiers, que cette définition suppose déjà définie la notion de limite, concept qui reste essentiellement intuitif dans les petites classes). Si bien que lorsqu’on dérive en autre sens, on le précise, au risque d’être un peu lourd, comme le fait remarquer avec humour Laurent Schwartz lui-même.

[Bruno]

Je demandais une définition, et vous me répondez par une vague idée. Si vous faites référence à la dérivation au sens des distributions, aux espaces de Sobolev, etc., cela me semble hors-sujet : l’auteur du fil demandait la définition de la dérivabilité d’une fonction d’une variable réelle en un réel a ; les distributions ne sont même pas définies point par point… On ne peut définir leur dérivée que globalement.

La fonction échelon est bien une fonction réelle d'une variable réelle et dérivable en 0, mais difficilement sans recourir aux distributions. Pour revenir à la rédaction des définitions, c'est pas plus mal de préciser "si et seulement si" si ça permet de moins embrouiller les esprits !

[PA5CAL]

Ça me semble abonder dans mon sens. Je suis globalement d'accord sur les faits, mais pas sur le sentiment général qui s'en dégage... Généraliser une notion (ou tenter de mieux formaliser une notion intuitive) sans vouloir admettre clairement qu'alors il ne s'agit plus de la même notion ou que cela invalide partiellement la définition précédente (au minimum en précisant les hypothèses) me semble tenir d'une certaine hypocrisie (même si elle me semble utile). Ça n'enlève rien à la rigueur de la pratique mathématique sur un sujet donné, mais ça tend à faire ressembler cette science dans son ensemble à un beau foutoir, parce qu'il faudrait chaque fois s'encombrer de nombreuses précisions sur le contexte et le niveau de généralisation/spécialisation des notions avant de pouvoir exprimer un fait les concernant sans risquer d'être compris de travers... ce qu'on ne fait souvent pas. Quand j'explique la continuité à un gamin en lui disant que le stylo ne quitte pas la feuille quand il trace la fonction, je me garde bien de lui dire que la définition de la continuité qu'il apprendra l'année suivante inclut d'autres fonctions qu'il ne pourra pas tracer de cette manière, et encore moins qu'il découvrira peut-être plus tard des fonctions fractales considérée comme continues qui ne répondent pas à cette dernière définition... On en arrive finalement à enseigner la rigueur en prenant garde de ne pas trop l'appliquer soi-même.

Et pour en revenir au sujet, en quoi les deux propositions, qui ici ne sont pas présentées comme des définitions, seraient-elles fausses ou incompatibles, sinon à fixer des hypothèses qui ne sont justement pas citées ?

[Caeli]

La définition qui nous a été donnée pour la dérivabilité passe par le taux d'accroissement. Je suppose que mon professeur souhaitait souligner, avec sa seconde remarque, l'importance de la notion d'implication, à opposer à celle d'équivalence, et nous montrer que les mathématiques étaient plus riches et complexes que ce que nous apprenions cette année...
En tout cas je vous remercie vraiment pour vos réponses (enfin ce que j'en ait compris ). Si cette implication peut être considérée comme une équivalence dans le cadre de notre programme cela me suffit pour l'instant. A titre personnel, j'aurai simplement préféré que cette limite soit dite plus clairement plutôt que de nous laisser nous inquiéter de la rigueur dans nos résolution d'exercices...