Calcul différentiel - Une sorte de "taux d'accroissement"

[invite0d212215]

Bonsoir,

J'ai un petit exercice portant sur une fonction définie comme suit :

On pose et f une fonction C² de




Je veux montrer que F est C¹

La continuité assez facilement sur R²\D est immédiate.

Pour la continuité sur D, je me suis pris (u,v) dans D, (h,k) deux réels et je m'intérésse donc à F(u+h,v+k)-F(u,v) ;
# Si h=k, j'ai par continuité de f que F(u+h,v+k)-F(u,v) tend vers 0 quand (h,k) tend vers (0,0)
# Si h≠k, je ne vois pas trop comment traiter le problème.

En plus, ce raisonnement me donne simplement la continuité. Comment passer ensuite au caractère C¹ ? Il y a peut-être une façon directe qui m'évite de passer par la continuité ?

Merci d'avance !
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[invite57a1e779]

On pose [TEX]D = \{ (x,y) \in \mathbb{R} / x=y \} [...]

Pour la continuité sur D, je me suis pris (u,v) dans D

Donc ...

On peut user de la formule de Taylor : .

On en déduit : , c'est-à-dire : .

Tout le problème est de choisir une bonne expression des restes pour conclure, tant pour la continuité que pour le caractère .

[invite0d212215]

Um, je suis d'accord, mais je ne vois pas trop qu'est ce que "bien choisir les R"...

[invite57a1e779]

Par exemple, voir si la formule de Taylor-Lagrange donne un résultat, ou si c'est mieux avec le reste sous forme d'intégrale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0d212215]

Ne serait-il pas juste suffisant d'ecrire la formule à l'ordre 2 ? J'obtiens quelques chose du type (h+k) f"(u)/2 qui tend bien vers 0.

Ensuite, pour Montrer que F est C1, il faut procéder pareil avec la definition de la dérivée ?