Bonjour,
Je sèche totalement sur un exercice:
U(n+2)=(a+b)*U(n+1)-a*b*Un U0=0 U1=1
Il faut démontrer que Un=(a^n-b^n)/(a-b)
Sachant que a≠b
Je n'y arrive pas, j'ai compris qu'il fallait utiliser des suites annexes.
Je pense qu'il faut trouver deux suites géométriques de raison a et b et deux suites arithmétiques de raison a et b mais je n'arrive pas a trouver les suites en partant de la raison.
Quelqu'un peux m'aider, ai-je au moins le bon raisonnement ?
Merci d'avance !
C'est une récurrence du second ordre à coefficients constants du genre u(n+2) + A u(n+1) + b u(n) = 0. La méthode classique consiste à chercher 2 solutions du type p^n et q^n. On voit assez bien que cela entraîne p² - (a+b) p + ab = 0 où l'on reconnaît l'équation donnant 2 nombres connaissant leur somme S = a+b et leur produit P = a.b : x² - S x + P = 0
Les racines sont a et b et il est important que soit différent de b, sinon les solutions ne sont pas indépendantes. Donc les solutions seront du type K p^n + L q^n soit ici K a^n + L b^n. Tu trouves K et L à partir de u(0) et u(1).
Merci beaucoup pour votre réponse mais vous parler d'objets mathématiques que je connais absolument pas, je ne pense pas que l'exercice soit aussi compliqué surtout que l'on a pas vu cela en cours, n'existe t'il pas un moyen plus simple de déterminer les suites annexes ou alors pouvez vous détailler et appliquer votre méthode ?
Merci encore
Tu es en quelle classe ?
En 1er Scientifique
Tu peux toujours balancer brutalement la formule qui te donnera u(n+2), u(n+1) et u(n) et vérifier que l'égalité tient et est compatible avec u(0) et u(1).
Simplement, je signalais que chercher des solutions sous la forme d'une somme de termes en p^n et q^n est très classique.
d'accord mais justement je n'arrive pas a trouver cela. De quelle formule parlez vous ?
Simple : tu écris brutalement que u(n) = x^n où x est une inconnue. Tu portes dans ta relation donnant u(n+2) et ça te donne une équation du second degré en x, que tu résous. Ca donne 2 valeurs p et q. Le théorème disant que TOUTES les solutions sont une somme de multiples de p^n et q^n n'est pas à ta portée.
Bonsoir.Envoyé par blisax
Comme on a l'expression de Un, il suffit de remplacer Un et Un+1 par leur expression dans (a+b)*U(n+1)-a*b*Un et voir que ça donne bien Un+2. On vérifiera bien sûr que Un=(a^n-b^n)/(a-b) donne bien U0=0 U1=1.
De cette façon, la suite Un=(a^n-b^n)/(a-b) est définie par la bonne récurrence et les bons premiers termes, c'est bien celle qui est définie au départ (ceci utilise le fait qu'une suite définie par une récurrence double et ses deux premiers termes est unique, mais l'énoncé déjà le supposait, sinon Un n'aurait pas été définie !).
On peut présenter cela ainsi :
soit Vn=(an-bn)/(a-b); on calcule V0, V1, puis (a+b)*Vn+1-a*b*Vn et on trouve Vn+2. On en conclut que Vn=Un.
Cordialement.
