Démonstration volume parallélépipède - produit mixte

[invitebbd6c0f9]

Re-Bonjour tout le monde

J'étudie maintenant le volume des parallélépipède (pas seulement rectangle, donc).

Évidemment, comme vous l'aurez compris, je fais cet exercice pour introduire le produit mixte.

On définit un parallélépipède basé sur les vecteurs . On choisit arbritrairement le parallélogramme basé sur comme base de notre parallélépipède.

Soient l'angle entre et et l'angle entre et .

Pour l'aire de la base, j'ai trouvé , j'espère que c'est juste.

Pour la longueur de la hauteur, j'ai trouvé , j'espère également que c'est bon.

J'ai donc déduit le volume .

Il s'agit ainsi ensuite de montrer que la quantité obtenue juste au-dessus est égal au produit mixte .

Je vois bien que vaut l'aire de la base, mais je ne comprend pas qu'est-ce que le produit scalaire avec la troisième arrête vient faire ici.

Pourriez-vous m'indiquer une procédure pour rejoindre les deux manières d'exprimer le volume (en admettant que le volume que j'ai trouvé soit juste ^^), s'il vous plaît?

Merci beaucoup d'avance
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[invitebbd6c0f9]

De quelle stupidité j'ai pu faire preuve! xD J'en ai limite honte!

À peine 10 minutes de réflexion pour me rendre compte de l'évidence : il n'y avait qu'à remplacer le cosinus et le sinus par les valeurs correspondantes en vecteurs (normes, produit scalaire et norme de produit vectoriel) pour obtenir une magique simplification où l'on arrive au produit mixte.

Encore désolé pour ce topic inutile!

Cordialement

P.S. : Ceci dit, c'est une très belle preuve que je n'ai vu nulle part sur internet ^^

[gg0]

Elle est pourtant classique !