Démonstration produit vectoriel - coplanairité

[invitebbd6c0f9]

Bonjour à tous ! =D

Je chercherais une piste pour une démonstration d'une implication qui est la suivante :

Si les vecteurs sont coplanaires, alors .

J'ai montré que la réciproque est fausse, mais mes camarades m'ont affirmé que ce sens d'implication était correct.

Je visualise le sens du vecteur : il devrait se trouver sur le même plan que , mais il faudrait plutôt trouver et alors on aurait prouvé que le vecteur en question correspond au vecteur nul.

Mais je ne sais pas comment procéder : Faut-il définir l'équation du plan de cs quatre vecteur ? Faut-il procéder avec des coordonnées? (Je ne m'y suis pas tenté, étant donné le temps que ça prendrait...). Ou autre?

Merci de vos précieux conseils!

Cordialement,

Brazeor
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[Seirios]

Bonsoir,

Si le plan contient tes quatre vecteurs, alors et sont deux vecteurs normaux au plan . Tu peux alors montrer que deux vecteurs normaux à un même plan sont colinéaires.

[gg0]

Rappel : le produit vectoriel est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

Comment as-tu démontré que la réciproque est fausse ?

Cordialement.

[invitebbd6c0f9]

Ah oui je n'y avais pas pensé merci ^^

Je ne savais juste pas que pour deux vecteurs colinéaires, le produit vectoriel était nul

Mais c'est logique puisque la norme du produit vectoriel représente l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs. Alors on a un parallélogramme dégénéré de surface , donc la norme vaudra 0.

Pour la réciproque, j'ai pris un contre-exemple

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok !

C'est l'idée que j'avais, avec non coplanaires et .

Cordialement.

[invitebbd6c0f9]

Ah intéressant

Personnellemment, j'ai pris n'importe quel vecteur avec une troisième composante non nulle. On a donc .

Et n'appartient pas au plan Oxy auquel les vecteurs appartiennent!

Et voilà !