Aire d'un triangle avec le produit scalaire (ou produit vectoriel)

[inviteed1b7351]

Bonjour à tous,

Je ne suis pas venu à vous pour demander comment calculer l'aire d'un triangle à partir du produit scalaire, de nombreux sites web expliquent très bien comment faire.

Cependant, j'aimerais soulever une certaine ambiguïté sur les termes « produit scalaire » et « produit vectoriel ». Un ami me soutient qu'on ne peut pas calculer l'aire d'un triangle à partir du produit scalaire mais du produit vectoriel.

Or, si je me souviens bien le résultat d'un produit vectoriel donne un vecteur alors que celui d'un produit scalaire donne un nombre. Comme il s'agit de calculer d'aire (d'un triangle), on s'attend à avoir comme résultat un nombre et non un vecteur, n'est-ce pas?

Quelqu'un aurait-il un développement plus approprié qui puisse faire la différence entre ces deux termes.

Un grand merci d'avance
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[Jon83]

Bonjour!

Dans le cas du produit vectoriel ^, le résultat est bien un vecteur! La norme de ce vecteur est égale à l'aire du parallélogramme formé par et

[Amanuensis]

Manifestement, il y a plein de triangles ABC tels que a la même valeur et pourtant ont des aires bien différentes. Donc le produit scalaire de deux vecteurs ne peut pas être la surface d'un triangle dont deux des côtés sont égaux à ces vecteurs.

Par contre le module du produit vectoriel est bien proportionnel à l'aire du triangle (c'est le double).

Le produit vectoriel est plutôt à comprendre en 3D. L'information supplémentaire au module (la direction 3D du produit vectoriel) correspond à l'orientation de la surface du triangle.

En résumé, le produit vectoriel pour un triangle ABC pris dans l'espace est bien un vecteur, qui indique d'une part le double de l'aire (par son module) et l'orientation spatiale du triangle par sa direction ( est perpendiculaire à la surface).

[Jon83]

Par contre le module du produit vectoriel est bien proportionnel à l'aire du triangle (c'est le double).

La norme du produit vectoriel est égale à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs
NB: l'aire d'un triangle =base*hauteur/2 !!!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

La norme du produit vectoriel est égale à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs
NB: l'aire d'un triangle =base*hauteur/2 !!!!!

Certes, et alors ????

[inviteed1b7351]

Le produit vectoriel est plutôt à comprendre en 3D

Une aire est en deux dimensions, non?

Lorsque tu dis « Manifestement, il y a plein de triangles ABC tels que a la même valeur et pourtant ont des aires bien différentes », tu peux développer en me donnant, par exemple, des coordonnées dans un repère orthonormé.

[Amanuensis]

Une aire est en deux dimensions, non?

Oui, mais un plan 2D peut toujours être vu comme un sous-espace d'un espace 3D. Ce plongement permet de mieux comprendre la relation avec le produit vectoriel tel qu'il est présenté usuellement (c'est à dire en 3D).

Lorsque tu dis « Manifestement, il y a plein de triangles ABC tels que a la même valeur et pourtant ont des aires bien différentes », tu peux développer en me donnant, par exemple, des coordonnées dans un repère orthonormé.

A = (0,0)

B = (1,0)

C = (1,1), D = (1,2)

AB.AC=AB.AD=1, aire de ABC = 1/2, aire de ABD = 1

(Et produit vectoriel de AB et AC égal à (0,0,1), en étendant par un vecteur tel que la base soit orientée dans le sens direct ; produit vectoriel de AB et AD égal à (0,0,2)).

[invite26003a38]

Manifestement, il y a plein de triangles ABC tels que a la même valeur et pourtant ont des aires bien différentes. Donc le produit scalaire de deux vecteurs ne peut pas être la surface d'un triangle dont deux des côtés sont égaux à ces vecteurs.

Ce qui n'empêche pas qu'on puisse calculer l'aire d'un triangle grâce au produit scalaire.

[Amanuensis]

Ce qui n'empêche pas qu'on puisse calculer l'aire d'un triangle grâce au produit scalaire.

Pas sans information en plus, comme connaître les longueurs des côtés.

Le point est que la seule donnée du produit scalaire est insuffisante, alors que la donnée du produit vectoriel suffit à elle seule.

[invite0a963149]

J'ai envie de dire : Al Kashi

Après c'est juste une envie comme ça

[inviteed1b7351]

Al Kashi, À tes souhaits blablatitude!
La loi des cosinus, j'y songeais même pas! Je vais cogiter là dessus.

Sinon, au passage, j'ai trouvé un site qui donne une formule pour calculer d'aire d'un triangle avec le produit scalaire (voir la page). Je vais y travailler aussi.

[Amanuensis]

Sinon, au passage, j'ai trouvé un site qui donne une formule pour calculer d'aire d'un triangle avec le produit scalaire (voir la page).

Rien vu de tel sur la page indiquée.

Sinon, je le répète, il n'est pas difficile d'obtenir l'aire à partir du produit scalaire de deux des côtés (pris comme vecteurs) et de leurs longueurs. On peut même du coup écrire l'aire comme une expression n'utilisant que des produits scalaires :



Est-ce que cela a un rapport avec la question initiale ?

[invite0a963149]

Je suis allé voir sur le site que tu donnes (formule produit scalaire/aire d'un triangle) et je n'ai rien vu de tel, cependant je crois qu'il est necessaire de faire un petit point parce que je pense que dans ta tête tous ces produits sont entrain de faire une belle choucroute !

Alors commençons par le premier le Produit de "nombres" qui donne un "nombre" (si tu continues tes études au dela du bac en maths tu verras qu'en fait les nombre on les appelle des scalaires stylé non ?)

Il se dénote avec un x (ou * sur un forum ) et en principe tu as du le voir en CM1 ou en CM2 (a moins que les réformes des programmes en maths ne les ai relégués a la classe de 3°)

Bref avec celui-ci rien de compliqué, le dos d'un cahier de brouillon peut tout t'expliquer, exemple 5x6=30



Ensuite : Le produit scalaire s'appelle comme cela car on peut multiplier n'importe quoi du même type, et on obtiendra un scalaire c'est a dire un "nombre", bien que la notion de produit scalaire soit franchement compliquée, pour toi on restreindra le produit scalaire a un produit entre deux vecteurs et on le notera "."

Exemple : euuuh "Oulalalala que ce triangle ABC est rectangle en B, faisons le produit scalaire de AB et de BC (avec des fleches dessus c'est des vecteurs) ! Oooooh c'est rigolo AB.BC=0"
(fin de l'exemple)


Enfin le produit vectoriel (qui n'a en principe pas grand chose a faire en pré bac, mais il y a des profs tête brulée) Il s'agit de multiplier deux Vecteurs (qu'on appelle toujours vecteur pas d'inquiétude) pour obtenir un Vecteur.
Attention si tu cherches une interprétation géométrique dans un plan, tu n'y arriveras pas car il est utile dans l'espace (donc dimension 3 au moins).
Bref je ne vais pas épiloguer dessus, c'est un peu plus compliqué que de juste mettre un ^ entre deux vecteurs. Le futur te permettra peut etre de l'étudier !

Ciao