Un petit problem avec les polynomes

[invitec5fc22a0]

Bonjour a tout!

J'ai besoin de votre aide.J'arrive pas resoudre exercice suivant;


Trouver les racines rationnelles des polynomes si:

f(x)=x4 -6x2 -7x -6

Je suis completement perdu avec ces polynomes Merci !
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[Jon83]

Bonjour!
Dans ce type de question, tu commences à chercher des racines entières en essayant des valeurs simples pour x: par exemple x=-3, -2,-1, 0, 1, 2, 3. Si tu trouves des racines, par exemple x=x1, alors tu peux faire une mise en facteur du type f(x)=(x-x1).g(x) avec g(x) de degré 4-1=3

[Seirios]

Bonjour,

On peut même dire que si le polynôme admet une racine entière, alors elle divise le coefficient constante, 6. Donc s'il y a une racine évidence, ce doit être 1, 2, 3, 6 ou les mêmes en négatif.

[Jeanpaul]

Bonjour,

On peut même dire que si le polynôme admet une racine entière, alors elle divise le coefficient constante, 6. Donc s'il y a une racine évidence, ce doit être 1, 2, 3, 6 ou les mêmes en négatif.

Pas sûr de ça : si une racine est entière, les autres ne le sont pas forcément.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Voici un théorème utile et sa démonstration:

[danyvio]

Pas sûr de ça : si une racine est entière, les autres ne le sont pas forcément.

Serios n'a pas dit cela, mais simplement que si une racine est entière, elle divise la constante.

[invitec5fc22a0]

et alors les racines sont? :/

[danyvio]

Serios n'a pas dit cela, mais simplement que si une racine est entière, elle divise la constante.

Pardon de me citer, mais je n'avais pas fini d'éditer mon post :
Et encore la divisibilté n'est pas asurée, et est soumise à certaines conditions:

Contre exemple : x²-3/2x-1 = 0 a 2 pour racine, mais 2 ne divise pas 1

[nissousspou]

[QUOTE=ikbenhard;3488146]et alors les racines sont?
2 racines sont faciles à trouver: elles sont parmi les nombres -3,-2,-1,0,1,2,3. Ensuite, factorise pour voir s'il y a d'autres racines réelles avec (x-1ere racine) (x-2eme racine) (ax²+bx+c)

[sylvainc2]

Pour que le théoreme des racines rationnelles s'applique il faut que les coefficients soient entiers (et réels bien sûr). S'ils sont rationnels, on les multiplie par le pgcd des dénominateurs. Dans ton exemple ca donne 2x^2 - 3x -2 = 0, et les racinnes rationnelles, si elles existent, sont donc parmi 1/1,1/2,2/1 et leur négatif.

[invitec5fc22a0]

Les reponses sont -2 et 3 c'est vrai?

[Jeanpaul]

Oui, mais il y en a encore 2 autres puisque c'est du 4ème degré.

[Jon83]

Contre exemple : x²-3/2x-1 = 0 a 2 pour racine, mais 2 ne divise pas 1

Bonjour!
Dans ce contre exemple, le théorème des polynômes à coefficients entiers ne peut pas s'appliquer car -3/2 n'appartient pas à Z!

[Jon83]

Les reponses sont -2 et 3 c'est vrai?

Bonjour!
Oui, -2 et 3 sont bien des racines de f(x). Pour continuer, il faut que tu factorises f(x) sous la forme f(x)=(x+2)(x-3)(ax²+bx+c).
Un développement simple et une identification te permettra de trouver rapidement les coefficients a, b, c! Et au final, il faudra essayer de factoriser le trinôme du second degré...