démonstration produit vectoriel

[invite965246dc]

Bonjour,
j'essaie de démontrer le produit vectoriel.

Soit les vecteur U1,U2,U3 formant un trièdre droit

le produit scalaire U1.U3=0 ,une équation
le produit scalaire U2.U3=0 ,une équation

dernière équation:
la norme de U3 =norme de U1* la hauteur du parallèlogramme (surface du parallèlogramme)

après avoir fait un test à la main (trop long)
j'ai tenté avec mathématica.
Apparemment le produit vectoriel assimilé au déterminant
d'une matrice est une approximation ?
est-ce que je me trompe et comment faire avec mathématica pour prouver cela ?

Merci pour toute aide

cordialement

Jean-Luc
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[invitec053041c]

Apparemment le produit vectoriel assimilé au déterminant
d'une matrice est une approximation ?

Ce n'est pas une approximation..

[invite965246dc]

pardon je suis sûrement à côté de la plaque mais
je ne vois vraiment pas comment faire pour démontrer ça. J'aimerais dire que je ne me rappelle plus, mais je crois que je n'ai jamais essayé de le démontrer...c'est sans doute simple honte à moi...

[invitec053041c]

En fait, je crois me souvenir qu'on doit démontrer quelque chose du genre:



Or, comme

(c'est même ce qui a permis entre autre de définir l'angle entre 2 vecteurs), on en déduit, grâce à l'identité cos²+sin²=1, que :



Et on vérifie que cette quantité donne bien l'aire du parallélogramme engendré par u et v.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite965246dc]

merci pour cette réponse mais c'est pas ce que je cherche à démontrer.
La norme du vecteur normal est définie comme étant la surface du parallèlogramme. Après tout ça pourrait être
n'importe quoi...soit raison de la physique
donc il s'agit de résoudre:

U1x*U3x + U1y*U3y +U1z*U3z=0
U2x*U3x + U2y*U3y +U2z*U3z=0
(U3x**2+U3y**2+U3z**2)**0.5=(U 1x**2+U1y**2+U1z**2)**0.5*H

avec H la hauteur du parallèlogramme

et donc de prouver que

U3x=U1y*U2z-U1z*U2y
U3y=U1z*U2x-U1x*U2z
U3z=U1x*U2y-U1y*U2x

...

[invite965246dc]

pardon je viens de comprendre. Je pars vraiment pas
du bon point. Il faut juste partir de la norme du vecteur
normal et retrouver le déterminant...
Merci pour l'aide