bonsoir,
Je dois démontrer l'égalité suivante mais je n'y arrive pas, pouvez-vous m'aider ?
[u,v,w]²=[u^v,v^w,w^u]
Le symbole ^ représente le produit vectirel et u, v, w sont des vecteurs d'un espace orthonormé direct.
D'avance Merci.
Jocurlyhair
Personne n'a une idée ?
Tu peux :
– exprimer les produits mixtes en fonction des coordonnées de u, v et w dans une base orthonormée directe, puis vérifier l'égalité ;
– écrire le deuxième produit mixte via un produit scalaire et un produit vectoriel, et utiliser la formule du double produit vectoriel.
Pour la seconde méthode, il est plus simple de commencer par obtenir une première formule en calculant :, et d'utiliser la formule obtenue dans le cadre de l'exercice.
je vois pas bien ce que tu veux dire. Tu pars du terme de droite c'est ça ?
Oui :
ouai ok je vois. Mais à la fin je n'ai pas l'égalité. Est -ce que [u,v,w]²=((u^v).w)²=(u^v)².w² ?
Pour y vois plus clair, je note a=u^v.Envoyé par jocurlyhair
Tu es en train d'écrire : (a.w)²=a².w².
Que vaut le produit scalaire a.w en fonction de l'angle des vecteurs a et w ? Que vaut le carré de ce produit scalaire ?
a.w=|a|.|w|.cos(a,w) soit au carré (a.w)²=|a|²|w|²cos²(a,w)
Pour l'instant je suis arrivé à : [a,(v^w),c]=(a^(v^w)).c=((a.w)v-(a.v)w).c=(((u^v)w-((u^v)v)w)(w^u)
C'est après que je suis bloqué
C'est cela, donc (a.w)² n'est pas égal à a².w² (sauf valeur particulière du cosinus...)
Pour y voir clair, il faut développer par linéarité.
(a.w) et (a.v) sont des produits scalaires, donc des nombres réels que je vais noter
On se retrouve avec deux nouveaux produits scalaires (des nombres réels) que je note
La bonne formule est donc :
Mais il ne faut pas oublier que a et c sont eux-mêmes des produits vectoriels, et il reste à calculer :
Je suis d'accord. J'ai bien suivi mais à la fin, je dois retomber sur [u,v,w]²=[u^v,v^w,w^u] . Je n'ai pas de valeurs données. Au final, j'obtiens bien [a, (v^w),c]=lambdaxmu-phixpsi mais comment je conclus avec [a, (v^w),c]=[u,v,w]² ?
Combien vaut :
euh...je dirai que c'est égal à [u,v,v] mais je vois pas l'issue
Que vaut un produit mixte où deux vecteurs sont égaux ?
Je dirai produit nul ?
Et (u^v).wxv.(w^u)= [u,v,w]² ?
(u^v).wxv.(w^u)= [u,v,w]² par rotation circulaire c'est ça ? (u^v).w=(w^u).v
Oui, certains termes sont nuls, d'autres font apparaître des produits mixtes égaux par permutation circulaire.
Ok ! merci beaucoup ! tu donnais les infos par petites doses pour me faire chercher ou tu cherchais en même temps ?
