trigonalisation

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai une question pour trouver la matrice de passage P
A=
-4 1 1
1 -1 -2
-2 1 -1

un vecteur propre de A est e'1=(1,1,1)
T=
-2 1 0
0 -2 1
0 0 -2

pour trouver la matrice P, peut-on résoudre le système suivant en connaissant e'1:
f(e'1)=-2e'1
f(e'2)=e'1-2e'2
f(e'3)=e'2-2e'3

et comment sait-on si on met e'1 dans la première colonne de P?

De plus, comment aurait-on fait si on ne connaissait pas le nombre 1 de la dernière colonne de T c'est-à dire 1 remplacé par *

merci de votre aide
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[invite371ae0af]

après avoir fais quelque calculs en changeant e'1
je remarque que T n'est jamais la même et donc il doit y avoir quelque chose qui nous permet de déterminer la position des vecteurs propres dans T mais quoi?

[invite57a1e779]

Je comprend mal ton problème : on met les valeurs propres dans la matrice dans le même ordre que les vecteurs propres dans la base, donc dans la matrice de passage.

[invite371ae0af]

en faite pourquoi e'1 dans la première colonne et pas dans la deuxième ou troisième colonne?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

C'est un problème de lien matrice/base.
La matrice représente dans la base si, et seulement si :



et les colonnes de la matrice de passage sont les coordonnées des vecteurs toujours dans cet ordre.

[invite371ae0af]

en faites ce n'est pas là qu'est mon problème

imaginons que je ne connais pas le 1 de la dernière colonne de T et que je ne peux pas faire le système
dans ce cas je suis obligé de calculé les vecteurs propres et à ce moment là comment savoir quel vecteur propre va dans la première, deuxième colonne
de même comment trouver le chiffre qui manque dans la matrice T. Dans mon cas 1

[invite57a1e779]

Je ne sais pas de quel théorème de réduction tu disposes, mais la matrice A a pour polynôme caractéristique -(x+3)³, donc elle admet -2 pour unique valeur propre, et un unique espace propre associé .
Comme le polynôme caractéristique est scindé, elle est trigonalisable et semblable à l'une des matrices :



Ces matrices se distinguent par la dimension de l'espace propre :
– si alors est semblable à ;
– si alors est semblable à ;
– si alors est semblable à .

Ici, tu sais que l'espace propre est de dimension 1, d'où la forme de la matrice triangulaire, et le premier vecteur de la nouvelle base doit être choisi dans l'espace propre.

[invite371ae0af]

et comment trouver le terme manquant?
ici j'ai dim(E(-2))=1 et comment à tu fais pour trouver les matrices semblables pourquoi pas un 4 par exemple pour le chiffre manquant?
qu'est ce qui t'as permis de la retrouver?

[invite57a1e779]

On sait que la matrice n'est pas diagonalisable, donc ce terme est non nul.
Mais tu peux le choisir comme tu veux, cela te fournira un autre vecteur e'₃.
Fais-le calcul : tu appelles ce terme a, et tu verras que, sauf pour a=0, tu obtiens toujours des solutions pour e'₃.

[sylvainc2]

Une autre façon de comprendre pourquoi il faut mettre le vecteur propre dans la colonne 1 de P:
la formule de changement de base est T = P^-1 A P --> PT = AP

Si on développe les deux côtés de l'égalité pour chaque colonne, ca donne (en utilisant les valeurs dans T):
-2P1 = A P1
1P1 - 2P2 = A P2
1P2 - 2P3 = A P3
où P1,P2,P3 sont les colonnes de P dans l'ordre habituel.

On voit bien que c'est P1 qui doit contenir le vecteur propre. Les deux autres colonnes ne peuvent pas contenir de vecteurs propres.

Maintenant, s'il y avait une inconnue 'a' à la place du 1 de la colonne 3, la ligne 3 serait:
aP2 - 2P3 = A P3, soit
(A -2I) P3 = aP2
qu'il faudrait résoudre pour trouver P3. Comme l'a dit God, il va y avoir une solution pour toute valeur réelle de 'a' SAUF 0 car dans ce cas ca voudrait dire que P3 est aussi un vecteur propre en plus de P1 mais c'est impossible puisque le sous-espace propre est de dimension 1.

[invite371ae0af]

d'accord
merci à vous 2