Bonjour,
Un oublie me tracasse, je ne me souviens plus comment on trigonalise une matrice! Et cela m'énerve!
Alors prenons un exemple la matrice
Le polynome caractéristique est
Il y a donc une valeur propre -1 de multiplicité 3
La dimension du sous espace propre associé est 1 et le vecteur propre est
La matrice triangulaire est de la forme
C'est la que je bloque, comment trouve t-on les a,b,c??
Merci de votre aide
Amanda
Salut,
essaie de compléter la famille (d'un seul malheureux vecteur)
en une base de
Les
On peut completer avec e1 et e2
Peut on dire que comme la matrice n'est pas diagonalisable, on peut mettre a=1 ou c'est une absurdité?
Ensuite (je note v1 mon vecteur (1,1,1)), (v1,e1,e2) forme une base
Le plus simple est de se référer aux blocs de Jordan.
Cela consiste à aller voir les sous-espaces caractéristiques, et non les sous espaces propres. De même, on va plus s'orienter vers le polynôme minimal que le polynome caractéristique.
Donc ici, tu vois que (X+1)^3=0 mais que (X+1)^2 et X+1 sont non nuls. Autrement dit, ton polynome minimal est aussi (X+1)^3.
ceci t'amène une réponse forte qui est que tu es sûr que le bloc de jordan de plus grande taille sera dimmension 3, c'est-à-dire toute ta matrice. Il vient que tu peux être sûr que ta matrice pourra se trigonaliser de la facon suivante :
-1 1 0
0 -1 1
0 0 -1
Rq: un bloc de Jordan est une matrice avec une diagonale de valeurs propres, et une surdiagonale de 1
Il ne reste plus qu'à trouver les vecteurs de P pour obtenir cette matrice triangulaire.
L'astuce consiste alors à se dire que les itérés des ker(X+1)^k sont emboités les uns dans les autres.
k=3 : donne tout l'espace
k=2 : donne un espace de dimension 2 de vecteurs de base (1, 1, 0) et (0, 0, 1)
k=1 : donne le sous-espace propre de dimension1 (c'est pour ca qu'il n'est pas suffisant de regarder le sous-espace propre seul, car il ne donne qu'un vecteur de base), de base (1, 1, 1).
On va donc prendre un vecteur, noté V1 qui appartient à tout l'espace (celui donné par k=3). On sait qu'en faisant (X+id).v1 on va obtenir un vecteur de ker(X+1)^2, noté V2, puis en faisant à nouveau (X+1).V2 on obtiendra un vecteur de ker(X+1).
On voit que pour que tout cela marche bien, il faut à chaque fois obtenir un (X+id).V non nul. La seule solution est de partir d'un vecteur de ker(X+1)^3 (donc de tout l'espace) n'appartenant pas à ker(X+1)^2 (comme ca, on aura bien V1, V2 et V3 non nul).
Au vu de la base de ker(X+1)^2, on va prendre simplement V1=(1, 0, 0)
On a alors V2=(X+1).V1=(1, 1, 0)
Puis V3=(X+1)^2.V1=(X+1).V2=(1, 1, 1) qui appartient bien à ker(X+1) comme prévu.
On a donc nos 3 vecteurs de base (V1, V2, V3). On forme alors la matrice P avec P=
1 1 1
1 1 0
1 0 0
On en déduit l'inverse de P (je la note Q):
0 0 1
0 1 -1
1 -1 0
Et on retrouve bien que J=Q.A.P avec A ta matrice de départ
Ca semble compliqué comme ca, mais une fois maitrisée, cette méthode est très rapide.
Tu ne peux pas prendre n'importe quels vecteurs pour compléter la base, par exemple dans la base (v1,e2,e3) la matrice n'est pas triangulaire.
Tu peux choisir les valeurs de a,b,c que tu veux, par exemple a=5,b=4,c=3 la matrice est B=
-1 5 4
0 -1 3
0 0 -1
dans la base (v1,v2,v3). Dans cette base on peut écrire les équations:
B v1= -v1 --> (B+Id)v1=0
B v2 = 5v1 - v2 --> (B+Id)v2 = 5v1
B v3 = 4v1 + 3v2 - v3 --> (B+Id)v3 = 4v1 + 3v2
Ensuite tu trouves v1 vecteur propre grace à la 1ère équation, puis tu le remplaces dans la 2e équation que tu résouds (en remplacant B par A), puis même chose avec v1 et v2 dans la 3e équation. Attention il faut que le v1 choisi (en fait 5v1) soit dans Im(A+Id) pour que l'équation 2 ait une solution, c'est le cas pour v1=(1,1,1) mais en général ce n'est pas garanti.
Ok merci pour vos explications
et merci Scorp tu m'as remémoré la méthode que l'on m'avait apprise mais que j'avais oublié
Merci à tous
