trigonalisation

[moussa97]

bonjour je veux trigonaliser cette matrice

2 2 -3
5 1 -5=M
-3 4 0

je trouve comme polynome caractéristique PM(X)=-(X-1)^3

donc 1 comme unique valeur propre M n'est pas diagonalisable
je trouve donc comme vecteur propre associer a la valeur prore 1
V1=(1,1,1)

maintenant je veux chercher V2 et V3 de sorte que (V1,V2,V3) forme une base de R^3 et que M soit trigonalisable dans cette base

j'essaie de trouver V2 en faisant comme la methode du cours a savoir (M-Id)V2=V1 f(V2)-V2 € vect(V1)

mais ça bloque au niveau des equations comment faire spv ?
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[God's Breath]

Bonsoir,

On transcrit à l'aide du système qui est équivalent à ce qui permet de trouver des vecteurs convenables.

[moussa97]

en faisant comme ça j'ai

x=(1+5z)/5 si je pose z=0 alors x=1/5
y=(2+5z)/5 y=2/5

ce qui me donne V2=(1/5,2/5,0) soit V2=(1,2,0)

en faisant d ela meme maniere pour V3 j'ai


x=(1+10y)/10 si je pose y=0 alors x=1/10
z=(-3+10y)/10 y=-3/10

c qui me donne V3=(1/10,0,-3/10) soit V3=(1,0,-3)

mais quand je fais P^-1MP je ne trouve pas T

1 1 0
0 1 1=T
0 0 1

1 1 1
1 2 0=P
1 0 -3

6 -3 2
-3 4 -1(1/5)=P^-1
2 -1 -1

[sylvainc2]

Si tu veux avoir T sous la forme que tu veux (matrice de Jordan) alors quand tu trouves V2=(1/5,2/5,0) tu ne peux pas multiplier par 5, tu dois le conserver comme tel.

De la même facon pour V3, tu résouds (M-Id)V3=V2 et tu gardes V3 comme tel.

Autrement, ta matrice va quand même être triangulaire, mais pas sous forme de Jordan.

[A voir en vidéo sur Futura]

[moussa97]

bonjour j'aurais une autre question a vous poser voila cette fois je veux trigonaliser

3 2 -2
-1 0 1
1 1 0

je trouve P(X)=-(X-1)^3 comme polynome caracteristique

donc 1 unique valeur propre

recherche des vecteurs propres associés a la vp1

je suis amené a une equation x+y-z=0 soit x=z-y

donc ker(A-Id)=E1={y(-1,1,0)+z(1,0,1); y et z réels}=vect{(V1,V2)}

V1=(-1,1,0) et V2=(1,0,1)

maintenant je cherche V3 tq (V1,V2,V3) forment une base de R^3

je n'arrive a resoudre le systeme (A-Id)V3=V1

2x+2y-2z=1
-x-x+z=0
x+y-z=1

[moussa97]

svp je n'arrive pas a comprendre pour dans certains cas on ne peut pas ecrire (A-XI)V € vect(Vi) pour une matrice carré Vi sont les vecteurs propres pour les valeurs propres Xi qu'on a deja V un vecteur propre qu"on cherche de sorte que V,Vi forment une base de E

[God's Breath]

Si est valeur propre de , alors n'est pas inversible.
Son noyau n'est pas réduit à , c'est l'espace propre associé à .
Son image n'est pas égale à l'espace ambiant : l'équation n'a de solutions que si .
Il faut donc choisir soigneusement tes vecteurs pour qu'ils admettent un antécédent par .