Trigonalisation simultannée

[invite51a3f1d4]

Bonsoir à tous !

J'ai un petit soucis avec les conditions de trigonalisation simultannée (K = C)
1) Si A et B commutent alors A et B sont simultanément trigonalisables (pourquoi ?)
2) Si AB=0 alors A et B sont simultanément trigonalisables. Là, je vois comment faire : on montre que A et B ont un vecteur propre commun et on utilise une récurrence. Si pour B il existe un vecteur propre pour une valeur propre non nulle, pas de problème car ImB est inclus dans KerA. Mais si ce n'est pas le cas, c'est à dire B nilpotente, comment on fait pour trouver un vecteur propre commun
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[invite57a1e779]

J'ai un petit soucis avec les conditions de trigonalisation simultannée (K = C)
1) Si A et B commutent alors A et B sont simultanément trigonalisables (pourquoi ?)

Montre que les sous-espaces caractéristiques de A sont stables par B.

2) Si AB=0 alors A et B sont simultanément trigonalisables. Là, je vois comment faire : on montre que A et B ont un vecteur propre commun et on utilise une récurrence. Si pour B il existe un vecteur propre pour une valeur propre non nulle, pas de problème car ImB est inclus dans KerA. Mais si ce n'est pas le cas, c'est à dire B nilpotente, comment on fait pour trouver un vecteur propre commun

Plus simple : puisque tu sais que ImB est inclus dans KerA, tu prends une base de Im B, tu la complètes en une base de KerA, que tu complètes à son tour en base de l'espace. Que deviennent A et B dans cette nouvelle base ?

[invite51a3f1d4]

Merci God's Breath J'ai compris pour 1) : en fait c'est la même chose que la diagonalisation simultannée sauf qu'on utilise les sous-espaces caractéristiques au lieu des espaces propres et ça donne donc des matrices triangulaires. Par contre, je ne vois pas trop où tu veux en venir dans 2) ?

[invite57a1e779]

Merci God's Breath J'ai compris pour 1) : en fait c'est la même chose que la diagonalisation simultannée sauf qu'on utilise les sous-espaces caractéristiques au lieu des espaces propres et ça donne donc des matrices triangulaires. Par contre, je ne vois pas trop où tu veux en venir dans 2) ?

Pour le 1/ tu as bien compris l'idée fondamentale.

Pour le 2/, je pense à une méthode plus terre à terre :
est une base de Im B,
est une base de KerA,
est une base de l'espace.
Dans cette base, A et B deviennent A' et B', que l'on peut écrire sous forme triangulaire par blocs :
et


Il reste à montrer que l'on peut en fait choisir pour que le bloc soit triangulaire, et pour que le bloc soit triangulaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51a3f1d4]

Oui, d'accord. Il me semble que j'ai compris : en développant le polynôme caractéristique par blocs, on a les conditions nécessaires comme quoi B1 et A3 sont trigonalisables. Donc on peut choisir les vecteurs de la base en conséquence. Merci pour ton aide