Trigonalisation d'une matrice

[invitea87a1dd7]

Bonjour tout le monde !
Je bloque sur la trigonalisation d'une matrice.
Soit la matrice :


On veut montrer qu'elle est semblable à :


Bon déjà, le spectre étendu est bien sûr {6,2,2,2}.
La matrice A-6I a pour noyau la droite vectorielle engendré par

La matrice A-2I a pour noyau le plan vectoriel

On appelle a l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice A.
On cherche une base telle que :


On prend donc un vecteur du sous espace propre associé à la valeur propre 6 (le vecteur )
Pour et on prend de même deux vecteurs libres du sous espace propre associé à la valeur propre 2
(Par exemple les deux vecteurs de la base du plan vectoriel défini ci-dessus)
Maintenant, reste à chercher . Il s'agit de résoudre le système non homogène suivant :
soit matriciellement :

Et là il y a un problème, puisque les deux première ligne sont égales à 0 et à -1.. C'est donc l'ensemble vide...

Je ne vois pas où est l'erreur ?

Merci de votre aide !
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[invitea87a1dd7]

Bon j'ai pensé à une erreur d'énoncé, et j'ai mis le 1 qui était au dessus de la diagonale en première ligne, dernière colonne. Ainsi, c'est un vecteur de la droite vectorielle qui apparait dans le système, et les deux premières lignes sont égales. L'ennui, c'est que la résolution de ce système me donne un vecteur qui avec les 3 premiers ne forment pas une base...

[invitebb921944]

Bonjour !
Il y a une erreur d'énoncé, la matrice trigonale est sous la forme :



Voilà, bonne chance

[invitea87a1dd7]

Ah ok merci J'avais pas pensé à mettre plusieurs 1 !

@++

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea87a1dd7]

Ganash >> en fait il n'y avait pas d'erreur d'énoncé. Il faut juste changer le choix de epsilon3 en le vecteur (1,1,-1,-1) (la somme des deux qu'on avait en fait) vérifier qu'il est non colinéaire à epsilon2 (qu'on ne change pas) et on est ramené au même calcul. Mais la matrice est bien avec un seul 1 au dessus de la diagonale.

@++