Diagonalisation, trigonalisation

[zeratul]

Bonjour,

j'aurais besoin de quelques tuyaux car je bloque sur certaines questions :

Il s'agit d'affirme ou d'infimer si les propositions :

1)toute matrice diagonalisable et à valeurs propres strictement négatives est inversible

j'aurais pensé que c'est vrai ;

on a A=PDP^-1 donc detA=detPdetDdetP^-1=detD.
Or si les valeurs propres sont strictement négatifs, alors detD différent de 0.
Donc A inversible.

2)il existe une seule matrice A de M_n(C) diagonalisable et ayant a=3 comme unique valeur propre

là je ne sais pas par quoi commencer...

3)une matrice A de M₄R](R) non inversible et dont le polynome caracteristique admet une racine double strictement positive est trigonalisable sur R.

on a P(x)=(x-x1)²(x-x2)(x-x3)
or detA=detPdetDdetP^-1 = detD différent de 0.
A diagonalisable si dimEx1=2, donc si on montre que la dimension vaut 1, alors on peut trigonaliser A ?


Merci d'avance poour votre aider!
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[Jeanpaul]

Pour la question 2 : à quoi peut ressembler cette matrice dans la base où elle est diagonale ?

[zeratul]

Alors en supposant qu'on puisse diagonaliser A, on aura : D (matrice diagonale) avec que des 3 (n fois) sur la diagonales.
Comment montrer qu'elle est unique ou pas dans ce cas?

[God's Breath]

Combien vaut avec une telle matrice diagonale ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[zeratul]

Dans ce cas, on a : A=P*3*Id*P^-1 = 3Id.

On a montré alors qu'il existait une seule matrice diagonalisable. Donc c'est vrai. C'est bien ça?

[God's Breath]

Mais oui, c'est bien ça. Aie confiance dans tes raisonnements !

[zeratul]

D'accord! merci! et à propos de la question 3), la raisonnement convient-il?

[God's Breath]

Non car tu raisonnes avec une matrice inversible de déterminant non nul, alors que l'énoncé parle d'une matrice non inversible.

[invite7ffe9b6a]

Pour la 3, on pourrait montrer que tout endomorphisme de E dont le polynome caracteristique est scindé est trigonalisable

[zeratul]

Donc, si j'utilise ce que tu dis :

le polynome caractéristique admet une racine double strictement positive, donc il n'est pas constant. Il est donc scindé (admet au moins un zéro).
Or une matrice est trigonalisable ssi son polynome caractéristique est scindé.
Donc A est trigonalisable.

Mais, il me semble qu'on a aussi la meme proprieté avec la diagonalisation. Comme on a toujours des polynomes scindés, alors pourquoi les matrices ne sont pas toutes diagonalisables? (ou alors j'ai mal compris...)

[zeratul]

j"ai mal compris. on sait que tout polynome est scindé sur C mais pas sur R.
Mais vu que la question traite sur R, alors on ne peut pas conclure avec cette proprieté?

[zeratul]

De toute façon, à partir du moment où l'on a une racine double alors le polynome n'est plus scindé non? (Un polynôme scindé est un polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré.
)

[invite7ffe9b6a]

Un polynome est scindé s'il peut s'écrire sous la forme



Dans R[X] par exemple

x²+2x+1 est scindé puisqu'il est egal à (x+1)²=(x+1)(x+1)
(ici il a une racine double -1)

En revanche le polynome x²+1 n'est pas scindé. (le descrimant est negatif)

Un endomorphisme est trigonalisable si son polynome caracteristique est scindé.


Un endomorphisme est diagonalisable si son polynome MINIMAL est scindé à RACINES SIMPLES

[zeratul]

OK!

Alors je propose ceci :

A de M₄(R) est non inversible.
Donc l'endomorphisme f associé n'est pas bijectif,
donc Kerf n'est pas réduit à {0}
donc il existe un x différent de 0 tel que f(x) = 0 = 0*x*
donc a=0 valeur propre de f.

Le polynome caractéristique s'ecrit : P(a) = a(a-a1)²(a-a2)
Puisqu'on sait que a=0 et a1 sont réels, mais qu'on a aucune info sur a2, si celui-ci n'est pas réel, alors A ne peut etre trigonalisable.
Donc suivant l'énoncé tel qu'il est, c'est faux.

Qu'en pensez-vous?

[invite7ffe9b6a]

La matrice est à coéfficient réel.
Le polynome est un polynome réel de degre 4 avec 3 racines réels.

La 4eme racine est forcement réel.
Les racines complexes d'un polynome à coefficient réel apparaissent nécessairement par paire de conjugué.
Ici on a en a deja 3 réels donc la 4eme l'est aussi.

[zeratul]

Les racines complexes d'un polynome à coefficient réel apparaissent nécessairement par paire de conjugué.

oui bien sur, j'aurais dû y penser!

Dans ce cas, comme toutes les racines sont réelles, alors la matrice A est trigonalisable!

Merci encore pour vos explications!