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Déterminant d'un tenseur ?



  1. #1
    Erffoc

    Déterminant d'un tenseur ?


    ------

    Bonjour, je me posais la question à savoir s'il existait la généralisation du déterminant pour des tenseurs d'ordre quelconque.

    On m'a conseillé de rechercher vers l'algèbre extérieure, mais je n'ai pas vraiment trouvé ma réponse.

    J'espère que vous pourrez m'aider.

    -----

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  3. #2
    Erffoc

    Re : Déterminant d'un tenseur ?

    Bon en relisant les règles du forum, je vais être un peu plus explicite :

    En algèbre linéaire, nous avons défini le déterminant comme étant une fonction de Rnxn -> R.
    Donc, un scalaire (= une matrice 1x1) a lui-même pour déterminant.
    On peut calculer aisément le déterminant d'une matrice carrée.

    Je sais (mais de culture générale, je n'ai jamais eu de cours à ce sujet) qu'une matrice est un cas particulier de tenseur et qu'il existe par exemple un tabeau de nombre à trois dimensions (un tenseur d'ordre 3).

    D'où ma question : peut-on calculer un déterminant pour "un tenseur carré d'ordre n".

    Merci d'avance.

  4. #3
    Ksilver

    Re : Déterminant d'un tenseur ?

    Salut !

    La propriété interessant du determinant, c'est quand meme det(AB)=det(A)det(B) (bon... pas tous à fait la seul mais quand meme)

    le probleme c'est que la multiplication de tenseur d'ordre 3 est pas clairement définit dans le sens ou il y a plusieur facon de faire le produitde deux tenseur, et que c'est pas une loi de composition... ( on obtiens plutot un tenseur d'ordre 4 quand on fais le produit). donc c'est pas vraiment claire de savoir qu'elles sont les propriété qu'on attend d'une telle chose...


    donc on peut imaginer des définition un peut arbitraire, mais il y en à pas vraiment une "naturelle" qui va s'imposer...

  5. #4
    Ising

    Re : Déterminant d'un tenseur ?

    Citation Envoyé par Erffoc Voir le message
    Bon en relisant les règles du forum, je vais être un peu plus explicite :

    En algèbre linéaire, nous avons défini le déterminant comme étant une fonction de Rnxn -> R.
    Donc, un scalaire (= une matrice 1x1) a lui-même pour déterminant.
    On peut calculer aisément le déterminant d'une matrice carrée.

    Je sais (mais de culture générale, je n'ai jamais eu de cours à ce sujet) qu'une matrice est un cas particulier de tenseur et qu'il existe par exemple un tabeau de nombre à trois dimensions (un tenseur d'ordre 3).

    D'où ma question : peut-on calculer un déterminant pour "un tenseur carré d'ordre n".

    Merci d'avance.
    Oui, il y a une généralisation du déterminant, à partir du symbole de Levi-Civita. Si T est un tenseur d'ordre n, alors:



    (j'ai bien sur utilisé la convention de sommation d'Einstein). Le déterminant ainsi définit possède en fait la vraie propriété intéressante d'un déterminant, à savoir qu'il est antisymétrique sous les permutations des indices du tenseur.

  6. #5
    Erffoc

    Re : Déterminant d'un tenseur ?

    ok, je vais creuser ça, merci beaucoup.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : Déterminant d'un tenseur ?

    Euh... sauf que pour un tenseur d'ordre 2, ca redonne pas le déterminant classique, donc j'ai quand meme des scrupules à appeller ca un déterminant.

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