Bonjour,
Si j'ai un système d'équations linéaires surje cherche une condition en termes de déterminants pour que le système admette comme solution un sous espace affin (de
Auriez-vous une idée sur la manière dont je pourrais m'y prendre ? J'ai évidement réecrit le système sous forme matricielle :
mais je ne vois pas quelles conditions imposer pour que le sous espace affin des solutions soit de dimension 2
merci
Tu ne peux pas donner une condition suffisante portant uniquement sur le determinant pour que les solutions soient de dimension 2.
Par contre tu peux donner une condition nécessaire, et c'est évidemment que le déterminant soit nul !
Une condition nécessaire et suffisante pour que les solutions soient de dimension 2 est que la matrice soit de rang 1 ; ie que le determinant soit nul ET que tous les determinants 2x2 extraits soient nuls ET qu'il y ait au moins un determinant 1x1 extrait qui soit non nul.
Hum !
Effectivement, tu dois prendre une matrice A de rang 1, mais ce n'est pas assez.
Si tu veux que l'ensemble E des x solutions de Ax = b soit de dimension 2, déjà, tu as besoin d'une solution particulière x0. Donc tu as besoin que b soit dans l'image de A.
Ensuite, tu obtiens facilement qu'alors, pour tout x de E,
A(x-x0) = 0, et donc, la dimension de l'espace affine solution est la dimension du noyau. (cf Guyem)
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rvz, pour compléter la réponse de Guyem
D'accord je vais essayer de mettre ça en musique sur papier
merci beaucoup
