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Solutions d'un système linéaire et déterminant



  1. #1
    Bleyblue

    Solutions d'un système linéaire et déterminant


    ------

    Bonjour,

    Si j'ai un système d'équations linéaires sur je cherche une condition en termes de déterminants pour que le système admette comme solution un sous espace affin (de ) de dimension = 2

    Auriez-vous une idée sur la manière dont je pourrais m'y prendre ? J'ai évidement réecrit le système sous forme matricielle :



    mais je ne vois pas quelles conditions imposer pour que le sous espace affin des solutions soit de dimension 2

    merci

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : Solutions d'un système linéaire et déterminant

    Tu ne peux pas donner une condition suffisante portant uniquement sur le determinant pour que les solutions soient de dimension 2.

    Par contre tu peux donner une condition nécessaire, et c'est évidemment que le déterminant soit nul !


    Une condition nécessaire et suffisante pour que les solutions soient de dimension 2 est que la matrice soit de rang 1 ; ie que le determinant soit nul ET que tous les determinants 2x2 extraits soient nuls ET qu'il y ait au moins un determinant 1x1 extrait qui soit non nul.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    rvz

    Re : Solutions d'un système linéaire et déterminant

    Hum !

    Effectivement, tu dois prendre une matrice A de rang 1, mais ce n'est pas assez.
    Si tu veux que l'ensemble E des x solutions de Ax = b soit de dimension 2, déjà, tu as besoin d'une solution particulière x0. Donc tu as besoin que b soit dans l'image de A.
    Ensuite, tu obtiens facilement qu'alors, pour tout x de E,
    A(x-x0) = 0, et donc, la dimension de l'espace affine solution est la dimension du noyau. (cf Guyem)

    __
    rvz, pour compléter la réponse de Guyem

  4. #4
    Bleyblue

    Re : Solutions d'un système linéaire et déterminant

    D'accord je vais essayer de mettre ça en musique sur papier

    merci beaucoup

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