Bonjour à tous,
J'aurais aimé savoir d'où sortait la formule donnant le déterminant d'une matrice (ou plus précisément d'un tenseur d'ordre 2, puisque la formule peut être généralisée pour les tenseurs d'ordre n) suivante :
(où
Quelqu'un pourrait-il m'en donner une démonstration ? (si possible pas trop complexe) Parce que je n'ai rien trouvé sur le net...
Merci d'avance
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
Salut,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre la formule telle que tu l'as écrite, mais j'imagine que c'est ce que j'appelle personnellement la "définition" du déterminant d'une matrice.
Du coup, je ne vois pas ce qu'il y a à démontrer !
On définit le déterminant comme une forme n-linéaire alternée (si je ne m'abuse), puis après on en démontre toutes les propriétés. Comme le dit guyem, c'est une définition.
Effectivement, s'il s'agit d'une définition, il sera difficile de la démontrer...(encore une question stupide
Merci tout de même pour vos réponses
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour,
Il faut quand même avoir en tête que le déterminant de la matrice n*n donne le volume orienté "engendré" par les n vecteurs. Ce n'est donc pas une notion abstraite.
bonjour,
il semble qu'on peut la démontrer a partir de la définition du determinant ou on fait intervenir les permutations...
mais j'ai pas trouvé sur le net une définition claire du symbole d'antisymétrie
Le symbole d'antisymétriemais j'ai pas trouvé sur le net une définition claire du symbole d'antisymétrie
Il s'agit d'un symbole un peu analogue au symbole de Kronecker, il sert à simplifier certaines expressions.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Envoyé par Phys2
Le symbole d'antisymétrie
Il s'agit d'un symbole un peu analogue au symbole de Kronecker, il sert à simplifier certaines expressions.
Hum, ça doit être plus ou moins lié à la signature d'une permutation non ?
par exemple
bonsoir,
est ce qu'il fallait faire une démo
pour le determinant d'ordre 2
d= a11*a22-a12*a21
tu as au bédut une permutation pair (o permutation)
puis une permutation (impair)
si tu as besoin d'une formule ... celle ou on fait intervenir la signature suffit
a+
Bonsoir,
Pour info, le déterminant défini ainsi est arbitraire mais pas trop. Je m'explique:
Si on considère l'ensemble des formes n-linéaires alternées sur un n-espace vectoriel, on peut démontrer qu'il s'agit d'un espace vectoriel (facile) et qu'il est de dimension exactement un (plus dur, mais c'est ce qui fait tout l'intérêt de la chose). Cela signifie notamment que si l'on considère une forme n-linéaire alternée quelconque sur un espace vectoriel de dimension n, alors elle est proportionnelle au déterminant (qui est une forme n-linéaire alternée non-triviale).
Cette propriété caractéristique peut aider à comprendre les déterminants des bases, des matrices, et donne une interprétation quasi intrinsèque du déterminant (ie à un facteur près). En d'autres termes, ce qui compte ce n'est pas tant la définition du déterminant, mais le rapport entre les déterminants dans diverses bases.
Pour une autre définition, certainement plus dure conceptuellement bien qu'en fait identique, vous pouvez aller regarder par exemple dans les algèbres antisymétriques. (je ne connais malheureusement pas de références à ce sujet, et d'ailleurs je ne suis plus très sûr du nom : Il s'agit d'une construction sur l'espace tensorisé V tens V tens V tens V... tens V (disons k fois), avec V un ev de dimension n, quotienté par la relation d'équivalence antisymétrie. Bref, un algébriste quelconque pourra certainement donner un peu plus de précisions. )
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rvz
