Trigonalisation

[mimo13]

Salut,

Je bloque sur un petit exo:

Montrer que si alors et sont co-trigonalisables.

Le cas est évident.

Pour le deuxième cas, je manque un peu d'idées.

Si vous avez des indications, je suis preneur.

Merci
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[silk78]

Bonjour,

J'ai galéré pendant un moment sur l'exo (il y a un cas que j'arrivais pas à traiter, le plus compliqué évidemment :S) mais j'ai fini par trouver un indice dans un bouquin (et même une démonstration un peu moins compliquée que ce que je pensais).
L'idée est bien sur de procéder par récurrence sur n (comme pour le cas ou le rang est nul), en exhibant un espace stable par A et B à la fois.
Voilà les grandes étapes :

1) Justifier que l'on peut toujours se ramener au cas où 0 est valeur propre de A.

On distingue alors deux cas. Supposons d'abord que Ker(A) est inclus dans Ker(C).

2) Démontrer que Ker(A) est stable par B.

On suppose maintenant que Ker(A) n'est pas inclus dans Ker(C).

3) En utilisant le fait que Ker(A) n'est pas inclus dans Ker(C), démontrer qu'il existe un vecteur non nul de Im(C) qui soit dans Im(A). En déduire que Im(C) est inclus dans Im(A)

4) Démontrer alors que Im(A) est stable par B.

Il ne reste plus qu'à récurrer.

En espérant être clair,
Silk

[mimo13]

Re,

Maintenant que je relis, je constate que j'ai oublié une hypothèse. et scindés ou bien carrément se placer dans un -espace vectoriel, cela garantira l'existence de valeurs propres.

Pour ta démarche, je n'ai pas encore tout lu...mais c'est quoi la matrice ??

Merci

[Tiky]

[Bêtise]...

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Oups
En fait j'ai juste posé C=AB-BA et oublié de le préciser, désolé.

Sinon, tu as raison, il faut bien et scindés

Silk