Statistiques - Sommes

**The_Anonymous** · 02/09/2013, 19h37

Bonjour à tous!

Comme vous l'aurez pu vour dans le titre, après les probabilités, ce sont les statistiques...

J'ai deux petites questions (quoi que petites :3) :

Question 1 :

Dans un groupe de 100 personnes, calcule l'espérance du nombre de joueurs où exactement trois personnes ont leur anniversaire. Calcule aussi l'espérance du nombre de jours anniversaires distincts.

C'est plus le problème en lui-même que je ne comprends pas plutôt que le calcul.

Pour ce qui est de la première partie, si j'ai bien compris on cherche $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ la variable aléatoire (discrète) qui compte le nombre de jours où 3 personnes ont leur anniversaire.

Mais le truc, c'est que je me dis que pour faire un bon calcul, on ne peut pas prendre une année au pif avec un arrangement au hasard et regarder sur cette année combien de fois 3 personnes ont leur anniversaire le même jour.
Donc, selon moi, il faudrait calculer toutes les possibilités de mettre ces 100 anniversaires sur ces 365 jours (on dira que l'année n'est pas bissextile). Et cela donnerait sauf erreur... $\text{[math]}$ , soit beaucoup...
Du coup, je me dis forcément que ce n'est pas possible d'avoir des astronomités pareilles.
Mais alors est-il possible de faire une "année-moyenne" où l'on peut directement agir dessus en sachant que c'est la moyenne de toutes les répartitions possibles?
Je suis un peu perdu...

Pour la deuxième partie, c'est à peu près pareil... Je me pose le même problème.
Mais je ne sais pas si on recherche le nombre de jours où exactement une personne à son anniversaire, ou bien le nombre de jours ou au moins une personne à son anniversaire...

En fait, je ne vois pas quelle formule ou autre principe je devrais utiliser pour résoudre ce problème...

Question 2 :

Ça n'a pas grand-chose en rapport avec les statistiques, mais j'ai deux sommes "assez compliqués" qui se simplifient à l'extrême, mais je ne vois pas comment on peut arriver d'un bout à l'autre par une explication logique.

Il s'agit de :

1) $\text{[math]}$ (en rapport avec la loi binomiale, vous l'aurez compris

) ;

2) $\text{[math]}$ .

Bien sûr, ce sont les deuxièmes égalités qui me posent problème (la première est la pour vous mettre les deux versions de la somme).

Voilà, je sais pas s'il y a des propriétés spéciales (à part des choses comme distributivité, comm., assoc. ou translation d'indice) à appliquer à ce genre de somme, malheureusement, W|A m'a donné le résultat sans preuve T.T

Merci à tous ceux qui m'aideront !

Cordialement

**gg0** · 02/09/2013, 20h05

Bonjour.

Je commence par les sommes :
1) Il s'agit simplement d'un changement d'indice. Dans la deuxième somme, remplace k par l et pose l=k-1 dans la première. Le =1 n'est que l'application de la formule du binôme (développement de (p+(1-p))^n-1.
2) on factorise la constante (1/2)ⁿ, puis on remplace le coefficient binomial par son expression en factorielle, puis on simplifie par k. Le terme pour k=0 peut être oublié puisqu'il est nul. On sort le n de n!=n(n-1)!, et on le factorise. Un changement de variable comme dans le 1 et on a une somme presque classique (je suppose que $\text{[math]}$ est connu). A moins qu'on tombe sur un calcul déjà fait précédemment ?

Bons calculs !

**gg0** · 02/09/2013, 20h10

J'oubliais :

Ton premier problème ne me semble pas des plus simples; j'avoue que je ne vois pas ...

Sinon, le 365¹⁰⁰ n'a rien d'exceptionnel en calcul de probabilités.

Cordialement.

**The_Anonymous** · 02/09/2013, 20h40

Envoyé par gg0

Bonjour.

Je commence par les sommes :
1) Il s'agit simplement d'un changement d'indice. Dans la deuxième somme, remplace k par l et pose l=k-1 dans la première. Le =1 n'est que l'application de la formule du binôme (développement de (p+(1-p))^n-1.
2) on factorise la constante (1/2)ⁿ, puis on remplace le coefficient binomial par son expression en factorielle, puis on simplifie par k. Le terme pour k=0 peut être oublié puisqu'il est nul. On sort le n de n!=n(n-1)!, et on le factorise. Un changement de variable comme dans le 1 et on a une somme presque classique (je suppose que $\text{[math]}$ est connu). A moins qu'on tombe sur un calcul déjà fait précédemment ?

Bons calculs !

Désolé, je me suis mal exprimé... En fait, je voulais dire que ce que je ne comprenais pas c'était le =1 et le =n(n+1)/4, le reste j'avais compris (mais merci quand même, au moins je suis sûr!

).
Merci pour l'astuce du binôme de newton, effectivement ça donne (p+(1-p))^(n-1) = 1^(n-1) = 1.

Pour la deuxième, j'ai plus de mal...
Si je vous comprends bien :
$\text{[math]}$ ... Mais ensuite, je ne sais pas comment continuer... Je trouve bien que $\text{[math]}$ par W|A, mais comment y arriver? (Et non, je ne connais pas $\text{[math]}$ , que cela donne-t-il?)
Merci d'avance!

Envoyé par gg0

J'oubliais :

Ton premier problème ne me semble pas des plus simples; j'avoue que je ne vois pas ...

Sinon, le 365¹⁰⁰ n'a rien d'exceptionnel en calcul de probabilités.

Cordialement.

Moi non plus xD

Ah oui... Quand j'ai vu [...]*10^91, je me suis dis que j'allais dans la mauvais direction x)

Cordialement

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 02/09/2013, 21h09

"Mais ensuite, je ne sais pas comment continuer.".
Comme je l'ai dit, changement de variable (le même qu'au 1)
Pour $\sum p C^{p}_{n}$ , pars de l'égalité $\text{[math]}$ , dérive et remplace x par 1.

"Je trouve bien que $\frac{n}{2^n} ( \sum^{n-1}_{k=0} k $ n-1 \\ k-1 $ ) = \frac{(2^n-4)n+2^n}{4}$ " ?? ça ne devrait pas faire $\text{[math]}$ ?

**gg0** · 02/09/2013, 21h11

Pöur l'exercice 1, je ne pense pas que la bonne méthode soit de déterminer la loi du nombre de jours où 3 anniversaires ont lieu; mais je ne vois pas de "truc" utilisant les propriétés des moyennes.

**The_Anonymous** · 02/09/2013, 22h56

Envoyé par gg0

"Mais ensuite, je ne sais pas comment continuer.".
Comme je l'ai dit, changement de variable (le même qu'au 1)
Pour $\sum p C^{p}_{n}$ , pars de l'égalité $\text{[math]}$ , dérive et remplace x par 1.

"Je trouve bien que $\frac{n}{2^n} ( \sum^{n-1}_{k=0} k $ n-1 \\ k-1 $ ) = \frac{(2^n-4)n+2^n}{4}$ " ?? ça ne devrait pas faire $\text{[math]}$ ?

Oh pardon, le changement d'indice ne m'est pas très familier (pas encore appris en fait), mais j'ai juste fait le changement sur le signe sigma mais j'ai oublié de le changer sur la formule...

Après le problème.... C'est que je ne sais pas comment dériver

désolé, mais je n'ai pas encore appris... (Vous allez me dire, que c'est un bien curieux type de problème pour quelqu'un qui n'a pas vu les dérivées...).

Donc, je reprends étape par étape pour être clair (pour moi-même) et pour essayer de ne pas me tromper :

$\text{[math]}$ , car $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , en simplifiant en un coefficient binomial.

$\text{[math]}$ , car le rang k=0 valait 0

$\text{[math]}$ , en effectuant une translation d'affine k=i+1

$\text{[math]}$ , en posant i=k.

Par contre, là pour aller plus loin...
Ça ne correspond pas au binôme de Newton, ni à aucun calcul précédent ou déjà connu...

Et pour la dernière ligne de votre message, excusez mon erreur de frappe,je ne voulais pas mettre la fraction avant la somme, mais comme de toute façon, je n'avais pas bien effectué le changement d'indice..

Je pourrais donc poser que $\text{[math]}$ , mais ce serait plus de la magie qu'autre chose...

Si vous avez une autre astuce que les dérivées, je suis preneur =D

Envoyé par gg0

Pöur l'exercice 1, je ne pense pas que la bonne méthode soit de déterminer la loi du nombre de jours où 3 anniversaires ont lieu; mais je ne vois pas de "truc" utilisant les propriétés des moyennes.

C'est vraiment gentil de chercher

J'ai réfléchi de mon côté, mais rien de plus non plus

Cordialement

**ansset** · 03/09/2013, 01h37

Envoyé par The_Anonymous

Bonjour à tous!

Comme vous l'aurez pu vour dans le titre, après les probabilités, ce sont les statistiques...

J'ai deux petites questions (quoi que petites :3) :

Question 1 :

Dans un groupe de 100 personnes, calcule l'espérance du nombre de joueurs où exactement trois personnes ont leur anniversaire. Calcule aussi l'espérance du nombre de jours anniversaires distincts.

C'est plus le problème en lui-même que je ne comprends pas plutôt que le calcul.

Pour ce qui est de la première partie, si j'ai bien compris on cherche $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ la variable aléatoire (discrète) qui compte le nombre de jours où 3 personnes ont leur anniversaire.

je ne comprend pas la phrase non plus.
pour 100 personnes, calcul de l'espérance d'un nombre de joueurs ????
c'est bien l'énoncé exact ?

j'aurai plutôt demandé l'espérance que 3 personnes sur 100 aient le même anniversaire.
mon approche est differente de la tienne Anonymous.
le nb de triplet de 3 pers sur 100 est de 100!/(77!*3!) soit 161700 combinaisons differentes.
posons d'abord qu'il sont tous né le 1 janvier.
pour un groupe sa chance est 1/(365)^3
mais comme le groupe peut être né un autre jour, on 365 possibilités de concordance, on revient à 1/(365)²

l'espérance est donc 161700/(365)² soit env 1,213. ( plus de chance que celà se produise que l'inverse )
ce qui ne me choque pas, c'est d'ailleurs un jeu auquel les organisateurs de mariage s'amusent souvent.
et tout le monde trouve que c'est une drole de coincidence.

ceci dit, celà est l'espérance qu'il existe 3 même dates , pas exactement un seul triplet , ni les quadruplets possibles

j'espère ne pas faire de bourde, il est tard!

**gg0** · 03/09/2013, 09h32

Ok pour ton calcul, The_Anonymous.

Dans la somme, on développe le produit par k+1, ce qui donne une somme de coefficients (qu'on sait calculer), et la somme dont je parlais. l'idée de dérivation peut aussi être utilisée directement à partir du développement de la puissance n+1. mais si tu ne connais pas ...
Si c'est une correction d'exercice, sont probablement supposées des connaissances que tu n'as pas (ce n'est pas la première fois !). Mais tu peux essayer de regarder ce que donne $\text{[math]}$ pour des valeurs simples de n, puis "inventer" une formule que tu prouveras par récurrence sur n.

Cordialement.

NB : En fait, tu as la formule ou presque.

**gg0** · 03/09/2013, 09h33

Question : C'est quoi W|A ?

**PlaneteF** · 03/09/2013, 09h38

Envoyé par gg0

Question : C'est quoi W|A ?

Salut gg0,

Là comme çà, à froid et sans filet

, je dirais Wolfram Alpha !

Cdt

**The_Anonymous** · 03/09/2013, 15h19

Envoyé par ansset

je ne comprend pas la phrase non plus.
pour 100 personnes, calcul de l'espérance d'un nombre de joueurs ????
c'est bien l'énoncé exact ?

j'aurai plutôt demandé l'espérance que 3 personnes sur 100 aient le même anniversaire.
mon approche est differente de la tienne Anonymous.
le nb de triplet de 3 pers sur 100 est de 100!/(77!*3!) soit 161700 combinaisons differentes.
posons d'abord qu'il sont tous né le 1 janvier.
pour un groupe sa chance est 1/(365)^3
mais comme le groupe peut être né un autre jour, on 365 possibilités de concordance, on revient à 1/(365)²

l'espérance est donc 161700/(365)² soit env 1,213. ( plus de chance que celà se produise que l'inverse )
ce qui ne me choque pas, c'est d'ailleurs un jeu auquel les organisateurs de mariage s'amusent souvent.
et tout le monde trouve que c'est une drole de coincidence.

ceci dit, celà est l'espérance qu'il existe 3 même dates , pas exactement un seul triplet , ni les quadruplets possibles

j'espère ne pas faire de bourde, il est tard!

@ansset : Mon dieu quel boulet... Je me suis mal relu... Je redonne l'énoncé :

Dans un groupe de 100 personnes, calcule l'espérance du nombre de jours où exactement trois personnes ont leur anniversaire. Calcule aussi l'espérance du nombre de jours anniversaires distincts.

Vraiment désolé d'une faute de ce genre, j'ai trop l'habitude de parler de joueurs dans des problèmes de probabilités x)

Mais alors est-ce que l'espérance du nombre de jours où 3 personnes ont leur anniversaire revient à l'espérance du nombre de fois que 3 personnes ont leur anniversaire le même jour?

Si j'ai bien compris votre raisonnement, on calcule le nombre de triplet de personnes différents : $\text{[math]}$ (faute de frappe pour le 77!, je pense, vu que le résultat correspond).

Mais après, je ne comprends pas votre logique avec les triplets, surtout que je ne comprends pas comment vous pouvez poser l'espérance de cette façon, je croyais qu'il fallait pondérer une somme ( $\text{[math]}$ ), j'ai du mal à vous suivre pour la fin du raisonnement.

Cordialement

Envoyé par gg0

Ok pour ton calcul, The_Anonymous.

Dans la somme, on développe le produit par k+1, ce qui donne une somme de coefficients (qu'on sait calculer), et la somme dont je parlais. l'idée de dérivation peut aussi être utilisée directement à partir du développement de la puissance n+1. mais si tu ne connais pas ...
Si c'est une correction d'exercice, sont probablement supposées des connaissances que tu n'as pas (ce n'est pas la première fois !). Mais tu peux essayer de regarder ce que donne $\text{[math]}$ pour des valeurs simples de n, puis "inventer" une formule que tu prouveras par récurrence sur n.

Cordialement.

NB : En fait, tu as la formule ou presque.

Effectivement! (--> souligné et gras)

Je serai bien intéressé que vous m'en montriez d'avantage (je parle de m'expliquer le raisonnement de la dérivation (pour cet exemple) et de comment on arrive à ce $\text{[math]}$ ), si vous êtes d'accord, si vous en avez le temps et l'envie, et si ce n'est pas violer le règlement du forum.

Si j'ai bien compris, vous voulez redévelopper le coefficient binomial avec le (k+1) ce qui donnerait (sauf erreur) (en mettant le (n)/(2^n) de côté) :

$\text{[math]}$ mais je reste intéressé pour tout ce que vous pourrez me dire

(Je chercherai les cas pour n=0, n=1 etc... Mais comme ça je ne vois vraiment pas..)

Envoyé par gg0

Question : C'est quoi W|A ?

Envoyé par PlaneteF

Salut gg0,

Là comme çà, à froid et sans filet

, je dirais Wolfram Alpha !

Cdt

Oui désolé x)

Effectivement, désolé de l'avoir jamais dit, mais c'est bien ça sorry

Cordialement

**ansset** · 03/09/2013, 15h26

Ok, je vais reprendre tout à l'heure mon raisonnement à la lumière de ton énoncé, qui est plus clair.
ce qui explique indirectement ( désolé )que mon raisonnement soit tronqué.( la dimension nb de jours étant absente ).
donc, on oublie le calcul present pour l'instant.
( somme(xiPi ) est bien la valeur à rechercher.

**gg0** · 03/09/2013, 19h26

Non, l'idée est de développer seulement le produit par k+1 :
$\text{[math]}$
La deuxième somme est facile à calculer, la première est du type que je donnais.

Cordialement.

NB : On est ici un peu loin du programme du lycée !

**The_Anonymous** · 03/09/2013, 22h41

Envoyé par ansset

Ok, je vais reprendre tout à l'heure mon raisonnement à la lumière de ton énoncé, qui est plus clair.
ce qui explique indirectement ( désolé )que mon raisonnement soit tronqué.( la dimension nb de jours étant absente ).
donc, on oublie le calcul present pour l'instant.
( somme(xiPi ) est bien la valeur à rechercher.

D'accord, merci de votre intérêt

Envoyé par gg0

Non, l'idée est de développer seulement le produit par k+1 :
$\text{[math]}$
La deuxième somme est facile à calculer, la première est du type que je donnais.

Cordialement.

NB : On est ici un peu loin du programme du lycée !

Il me semble avoir compris...

en repartant de la dernière étape, on a :

$\text{[math]}$

Merci beaucoup de votre soutien

Cordialement

**PlaneteF** · 03/09/2013, 23h11

Envoyé par The_Anonymous

Oui désolé x)

Effectivement, désolé de l'avoir jamais dit, mais c'est bien ça sorry

Par contre, ...

Envoyé par The_Anonymous

Voilà, je sais pas s'il y a des propriétés spéciales (à part des choses comme distributivité, comm., assoc. ou translation d'indice) à appliquer à ce genre de somme, malheureusement, W|A m'a donné le résultat sans preuve T.T

... cela veut dire quoi "T.T"

**ansset** · 03/09/2013, 23h46

je reviens sur le point 1)

Soit Q(1) : la probabilité de trouver au moins un triplé de joueur ayant le même anniversaire
n=100 joueurs , c=365 jours.
Il y a N(n) = n !/((n-3) !3 !) de triplet possibles soit 161700 pour n joueurs.
Q(1)=((N(100)/(c^3)( concordance)*c( jours possibles)*((c-1)/c)^(n-3)( pas d’autres joueurs né le même jour ( dixit l’énoncé )

Q(1)=((N(100)/(c^2)*((c-1)/c)^(n-3) et
Q(2)=((N(100-3)/((c-1)^2)*((c-2)/(c-1)^(n-6)
(car on enlève un jour, et 3 joueurs ) ( un triplet parmi 97 joueurs et 364 jours )

Q étant la probabilité de trouver au moins un triplet.
P la probabilité de trouver exactement un triplet , on a

P(1)=Q(1)-Q(2).

L’espérance en jour E=somme( i*P(i)) ( i de 1à 33)

Je trouve en gros 8,869 jours
calcul sous excel, fatigué pour faire la somme , mais ça a l'air lourdingue ( lycée cette question ou exercice personnel ? )

qu'on me corrige eventuellement sur le raisonnement et la formulation.
cordialement.

**The_Anonymous** · 04/09/2013, 00h21

Envoyé par PlaneteF

Par contre, ...

... cela veut dire quoi "T.T"

C'est un petit smiley indiquant une personne qui pleure x)

Envoyé par ansset

je reviens sur le point 1)

Soit Q(1) : la probabilité de trouver au moins un triplé de joueur ayant le même anniversaire
n=100 joueurs , c=365 jours.
Il y a N(n) = n !/((n-3) !3 !) de triplet possibles soit 161700 pour n joueurs.
Q(1)=((N(100)/(c^3)( concordance)*c( jours possibles)*((c-1)/c)^(n-3)( pas d’autres joueurs né le même jour ( dixit l’énoncé )

Q(1)=((N(100)/(c^2)*((c-1)/c)^(n-3) et
Q(2)=((N(100-3)/((c-1)^2)*((c-2)/(c-1)^(n-6)
(car on enlève un jour, et 3 joueurs ) ( un triplet parmi 97 joueurs et 364 jours )

Q étant la probabilité de trouver au moins un triplet.
P la probabilité de trouver exactement un triplet , on a

P(1)=Q(1)-Q(2).

L’espérance en jour E=somme( i*P(i)) ( i de 1à 33)

Je trouve en gros 8,869 jours
calcul sous excel, fatigué pour faire la somme , mais ça a l'air lourdingue

qu'on me corrige eventuellement sur le raisonnement et la formulation.
cordialement.

Wow, merci beaucoup!

Je vais y songer cette nuit (bah quoi, les petits jeu de mots (pourris) "la nuit porte conseil" ne sont plus autorisés?

), ça m'a l'air assez compliqué en effet...

Envoyé par ansset

( lycée cette question ou exercice personnel ? )

Envoyé par gg0

NB : On est ici un peu loin du programme du lycée !

Ben c'est que j'ai pas trop d'idée de ce qu'est le niveau lycée x) mais ces deux problèmes viennent bien de mes exercices.

Merci de répondre aussi souvent à ces heures

Cordialement

**ansset** · 04/09/2013, 01h56

Envoyé par ansset

Q étant la probabilité de trouver au moins un triplet.
P la probabilité de trouver exactement un triplet , on a

P(1)=Q(1)-Q(2).

.

oups, je crois avoir ecrit une boulette.c'est plutôt:
P(1)=Q(1)*(1-Q(2)) soit
il existe au moins un triplet au rang n et il n'en existe plus au rang n+1.( 1-Q)
la suite ( le resultat doit être corrigé ) sorry.

**The_Anonymous** · 12/09/2013, 14h18

Voilà

J'ai reçu le corrigé de l'exercice 1 sur ce topic, et je vous retranscris au caractère près la réponse telle qu'elle est marquée :

" • Donnons un nom à chacune des personnes : la première s'appelle 1, la deuxième 2, etc. Soient $\text{[math]}$ trois personnes distinctes. On note $\text{[math]}$ la variable aléatoire valant 1 si $\text{[math]}$ ont leur anniversaire le même jour (et personne d'autre qu'eux n'a son anniversaire ce jour-là), et 0 sinon. L'espérance de $\text{[math]}$ est

$\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ la variable aléatoire représentant le nombre de jours où exactement trois personnes ont leur anniversaire. Comme

$\text{[math]}$

on a

$\text{[math]}$ .

• Numérotons les jours de l'année de 1 à 365. On note $\text{[math]}$ la variable aléatoire valant 1 si quelqu'un à son anniversaire le jour $\text{[math]}$ et 0 sinon. On a

$\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ la variable aléatoire représentant le nombre de jours d'anniversaires distincts. Comme $\text{[math]}$ , on a

$\text{[math]}$ . "

CQFD, j'ai envie de dire

Pour la deuxième partie, vu que nous n'en avions pas parlé, je vous la laisse pour votre curiosité

, mais pour ce qui est de la première partie.... ansset y était presque!

En fait, la réponse correspond à $\text{[math]}$ !

Il n'y avait donc pas besoin d'introduire ces $\text{[math]}$ , mais il fallait juste diviser par $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ le dénominateur!

Il me semble avoir compris le raisonnement, je vous laisse répondre si vous voulez en reparler, ou alors cela clôt la discussion et voilà! =D

Merci en tous cas pour les réponses ! :P

Cordialement

**Jukse** · 13/09/2013, 09h59

Alternative pour l'exercice 1 : pour chaque jour $\text{[math]}$ , on pose $\text{[math]}$ si exactement trois personnes ont leur anniversaire ce jour et $\text{[math]}$ sinon. La probabilité que $\text{[math]}$ est la probabilité qu'une variable de loi binomiale $\text{[math]}$ vaille 3. C'est à dire

$\text{[math]}$

On utilise alors la linéarité de l'espérance

$\text{[math]}$

Bises.

**Jukse** · 13/09/2013, 12h03

Un mot sur l'exercice 2 :
Un raisonnement combinatoire rend souvent les calculs plus transparents. Par exemple $\text{[math]}$ , c'est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n en en distinguant 2 (éventuellement deux fois le même). Mais on peut aussi faire ça dans l'autre sens : soit on prend un seul élément parmi n qu'on distingue et on complète avec k-1 éléments parmi les n-1 restants, soit on en prend deux distincts qu'on distingue et on complète avec k-2 éléments pris dans les n-2 restants. En d'autres termes :

$\text{[math]}$

On peut alors écrire

$\text{[math]}$ .

**joel_5632** · 13/09/2013, 17h57

Envoyé par Jukse

$\text{[math]}$ , c'est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n en en distinguant 2 (éventuellement deux fois le même).

je ne comprends pas ce que tu veux dire. Peux-tu (ou quelqu'un d'autre) préciser stp ?

**joel_5632** · 13/09/2013, 18h07

ok, je crois comprendre maintenant

Pour ceux comme moi qui n'auraient pas "percuté" immédiatement, on distingue d'une manière différente 2 éléments parmi les k éléments de chaque partie, par exemple on cercle en rouge un élément et en vert un autre. (on peut aussi distinguer 2 fois le même elt)
il y k choix pour le premier élément à distinguer, et k choix pour le second. D'ou la multiplication par k²

**joel_5632** · 13/09/2013, 19h06

Amusante cette technique:

$\text{[math]}$

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