Coefficient de Corrélation : Encore des dés!

**The_Anonymous** · 08/09/2013, 12h22

Bonjour! (encore une fois

)

Un dernier (dernier de la semaine, promis

) problème me resiste, à propos d'un calcul de coefficient de corrélation.

L'énoncé :

"Soit un jeu de dés auquel jouent 2 joueurs et la banque. Chaque personne lance deux dés, et un joueur (un des deux) dont la somme des dés est strictement supérieure à celle de la banque gagne.

On a les deux variables aléatoires X et Y, X vaut 1 si J1 gagne, 0 sinon; Y vaut 1 si J2 gagne, 0 sinon.

Montrer que $\text{[math]}$ . "

J'ai raisonné ainsi :

Comme les deux joueurs ont les mêmes chances de gagner (ça parait logique en tous cas), alors forcément $\text{[math]}$ .

J'en déduit que $\text{[math]}$ et aussi que $\text{[math]}$ , donc en gros que $\text{[math]}$ (et donc que $\text{[math]}$ ).

Donc, sachant cela, ça me donne $\text{[math]}$ .

Pour ce qui est de calculer $\text{[math]}$ , j'ai fait :

$\text{[math]}$ .

Donc, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Donc j'arrive à $\text{[math]}$ .

Par contre je ne pense pas que $\text{[math]}$ , dans quel cas le coefficient vaudrait 1 et l'exercice tomberait à l'eau.

En raisonnant, je pense avoir compris que $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ , pour A = " J1 perd, J2 perd ", B = " J1 perd, J2 gagne ", C = " J1 gagne, J2 perd " et D = " J1 gagne et J2 gagne ".

Donc $\text{[math]}$ vaut la probabilité que les deux joueurs gagnent.

C'est le dernier calcul qui me reste à faire, et je n'y arrive vraiment pas...

Je sais que je dois faire quelque chose comme (Probabilité que J1 fasse un certain nombre * Probabilité que J2 fasse un certain nombre * Probabillité de gagner (faire mieux que la banque) ) / 36^3, mais il y a tellement de cas que je m'embrouille et je n'arrive pas à trouver de règle pour simplifier...

Merci pour toute votre aide!

Cordialement

**gg0** · 08/09/2013, 12h46

Bonjour.

Je voudrais bien t'aider, mais l'énoncé est incompréhensible :
"Chaque personne lance deux dés, et un joueur (un des deux) dont la somme des dés est strictement supérieure à celle de la banque gagne."
J'imagine que dans les personnes, il y a la banque (le croupier). mais il n'y a pas de raison qu'un des joueurs ait un total supérieur à celui de la banque. Et rien n'interdit que deux joueurs aient le même total que la banque, ou le même total supérieur à celui de la banque.
Comme je n'aime pas faire des calculs inutiles, j'attendrai que la règle du jeu soit complète.

Sinon, tu as tout à fait raison de te méfier de l'égalité entre E(XY) et E(X)². Bien que si E(X)=E(Y) et si X et Y sont indépendants, il y ait égalité.
Mais ici, tes X et Y n'ont pas l'air indépendantes (je ne sais pas, je n'ai pas la règle du jeu).

Cordialement.

**The_Anonymous** · 08/09/2013, 12h52

Désolé, j'avoue qu'en me relisant, j'ai de la peine à moi-même comprendre. Bref, je reprends :

Il y a 3 personnes : deux joueurs et la banque (ou le croupier si vous voulez).

Chacune de ces 3 personnes lancent 2 dés (classiques, de 1 à 6), et on prend en compte la somme des deux dés pour ces 3 personnes.

On regarde donc la somme obtenue par le premier joueur, la somme obtenue par le deuxième joueur et la somme obtenue par la banque.

Si la somme des dés d'un des deux joueurs est strictement supérieure à la somme de la banque, alors ce joueur a gagné.

J'espère que c'est plus clair.

Ensuite on a les variables comme je les ai indiquées.

(Exemple : Le joueur 1 fait une somme de 9, le deuxième joueur 11 et la banque 9. Le J1 perd mais le J2 gagne).

Cordialement

**gg0** · 08/09/2013, 13h05

Ok.

Donc les deux joueurs peuvent gagner simultanément.
Voilà ma première réflexion :
Dans ce cas, les variables X et Y sont indépendantes et donc décorrélées. Le coefficient de corrélation est bien positif puisqu'il est nul.

Reste à savoir ce qu'il te faut prouver :
* Que X et Y sont indépendantes (intuitivement évident) ?
* Que deux variables indépendantes sont décorrélées (vu en cours ?) ?

Pour la première question (indépendance), tu peux examiner P(X=1/Y=0)
Et c'est là que j'ai un doute.
En effet, si le croupier fait 12, Y vaut 0 et X ne peut pas faire 1. L'indépendance n'est plus aussi évidente !!

Il va falloir aller voir de plus près.

En tout cas, la question essentielle est la loi de (X,Y).

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**The_Anonymous** · 08/09/2013, 13h15

Bah disons que je sais que " X et Y indépendants $\text{[math]}$ , à condition que $\text{[math]}$ . Mais ce n'est en tous cas pas le cas ici (le dénominateur n'est pas nul).

Je ne trouve pas intuitivement que les deux variables sont indépendantes

, mais si vous le dites ^^

Après c'est sûr que si le croupier fait 12, les deux joueurs perdent assurément...

Mais si $\text{[math]}$ , alors il n'y à qu'à prouver que $\text{[math]}$ (cf #1 pour le contexte).

Mais je ne vois pas comment prouver que le coefficient de corrélation est nul ou comment trouver $\text{[math]}$ ...

Meci de l'aide

Cordialement

P.S. : Vous confirmez mon raisonnement de #1 ?

**gg0** · 08/09/2013, 13h23

Ne jamais réagir à un message avant de l'avoir lu jusqu'au bout ....

**The_Anonymous** · 08/09/2013, 13h27

Envoyé par gg0

Ne jamais réagir à un message avant de l'avoir lu jusqu'au bout ....

Ouhlà... Ça m'échappe de plus en plus...

Vous pourriez m'expliquer explicitement parce que là... J'ai un peu de peine à comprendre les sous-entendus....

Vous vouliez que je m'intéresse plus à $\text{[math]}$ ou que je pense à la loi (X,Y) ?

Et vous confirmez mon début de raisonnement en #1 ?

Cordialement

P.S. : Quel intérêt de calculer P(X=1|Y=0) puisque dans l'espérance, cela vaudra 0 ?
À part si cela aide dans le raisonnement pour l'indépendance mais je vois vraiment pas...

**gg0** · 08/09/2013, 14h03

Si tu as lu mon message, tu as vu que je mets en doute à la fin la partie en italique. Que tu as prise pour affirmation forte.

Pour ton début de raisonnement, je n'ai rien mis en doute. Je ne confirme pas la valeur de E(X) simplement parce que je n'ai pas fait le calcul.

Mais n'importe comment, sans la loi de (X,Y), tu ne peux pas calculer E(XY).

Bon travail !

**gg0** · 08/09/2013, 14h21

Je viens de regarder de plus près ton premier message,

et finalement, si, on peut se passer de la loi de (X,Y), avec le raisonnement que tu as fait (qui utilise le fait que les valeurs de X et Y sont 0 ou 1. Pour une variable de Benoulli, la moyenne est la probabilité de faire 1.
Et le calcul de E(XY) se fait de la même façon que celui de E(X) en utilisant l'indépendance des valeurs prises par les deux dés (ou les trois dés) :
$\text{[math]}$
en appliquant la formule des probabilités totales.

On trouve bien un numérateur positif.

Cordialement

**The_Anonymous** · 08/09/2013, 14h21

Il me semble avoir compris que...

Vous me reprochez d'avoir dit que vous affirmiez que X et Y sont indépendants alors que vous mettez en doute cela en regardant P(X=1|Y=0).

Ceci dit, X et Y sont peut-être indépendants, je le verrai si le coefficient de corrélation vaut 0.

Dans ce cas, vous pourriez me dire alors si mon E[X] est juste s'il vous plait? (Et donc si mon calcul de rho(X,Y) jusque là est juste?)

Et finalement, je n'ai pas vraiment appris qu'est-ce qu'une loi de (X,Y), je me suis documenté, mais je ne vois pas vraiment quelle serait la loi dans ce cas là... La seule loi que j'ai vue en cours, c'est la loi binomiale.

Alors je voudrais bien calculé E[XY], mais apparement, il me faut cette loi de (X,Y), et c'est pourquoi je demande votre aide pour m'aidez à la trouver et à finir ce problème en calculant E[XY]

Merci d'avance

Cordialement

Edit : Ah bah à la minute près x)

J'y réfléchis, je réponds juste après

**gg0** · 08/09/2013, 14h28

Finalement,

X et Y ne sont pas indépendants.
Le seul reproche que je t'ai fait a été de ne pas lire mon message avec un passage en italique (le lire, c'est à dire comprendre ce qui est dit, pas prendre des bouts de phrase, des passages, sans tenir compte de l'ensemble).
Tu fais comme si je savais d'avance quelle est la solution de ton exercice, ce n'est pas sérieux; je ne connais pas par coeur les milliards d'exercices de maths possibles et leur corrigé.

Autre chose : "je n'ai pas vraiment appris qu'est-ce qu'une loi de (X,Y), je me suis documenté, mais je ne vois pas vraiment quelle serait la loi dans ce cas là... La seule loi que j'ai vue en cours, c'est la loi binomiale."
Tu dois savoir ce qu'est la loi d'une variable aléatoire (sinon, apprends vite, tu en parles depuis un moment). Rien à voir avec les lois particulières, comme la loi Binomiale.
Chaque variable a sa loi, et ici, pour (X,Y), c'est simplement la liste des probabilités des différents cas possibles (il y en a 4). Grâce à ta remarque, on a pu se contenter du seul cas (x,y)=(1,1).

Cordialement.

NB : j'espère que tu as lu mon message #9

**The_Anonymous** · 08/09/2013, 14h45

Envoyé par gg0

Finalement,

X et Y ne sont pas indépendants.
Le seul reproche que je t'ai fait a été de ne pas lire mon message avec un passage en italique (le lire, c'est à dire comprendre ce qui est dit, pas prendre des bouts de phrase, des passages, sans tenir compte de l'ensemble).
Tu fais comme si je savais d'avance quelle est la solution de ton exercice, ce n'est pas sérieux; je ne connais pas par coeur les milliards d'exercices de maths possibles et leur corrigé.

J'espère bien

x) Mais j'ai fait mon message un peu vite c'est vrai :3 désolé

Envoyé par gg0

Autre chose : "je n'ai pas vraiment appris qu'est-ce qu'une loi de (X,Y), je me suis documenté, mais je ne vois pas vraiment quelle serait la loi dans ce cas là... La seule loi que j'ai vue en cours, c'est la loi binomiale."
Tu dois savoir ce qu'est la loi d'une variable aléatoire (sinon, apprends vite, tu en parles depuis un moment). Rien à voir avec les lois particulières, comme la loi Binomiale.
Chaque variable a sa loi, et ici, pour (X,Y), c'est simplement la liste des probabilités des différents cas possibles (il y en a 4). Grâce à ta remarque, on a pu se contenter du seul cas (x,y)=(1,1).

Ah d'accord! J'avais jamais compris ça sous ce nom là, mais je vois ce que c'est alors!

Merci de l'indication

Envoyé par gg0

NB : j'espère que tu as lu mon message #9

Bien sûr

Comme je l'ai marqué dans mon Edit de #10

Je vous réponds donc, et vous remercie de votre indication pour le calcul de E[XY]

Je peux à présent compléter mon exercice et affirmer que le coefficient de corrélation vaut $\text{[math]}$

Merci énormément de vos réponses =)

**gg0** · 08/09/2013, 15h16

En réfléchissant à nouveau à la question,

j'ai fini par comprendre en quoi je me trompais en soupçonnant l'indépendance de X et Y. Et c'est la valeur du coefficient de corrélation qui m'ayant surpris, m'a permis d'avancer :
Si X=1, c'est le plus probablement que le dé du croupier est faible, ce qui augmente la probabilité pour Y de gagner. Donc les résultats des dés sont indépendants, mais les effets de ces résultats ne le sont pas.

Merci de m'avoir permis de progresser encore sur la subtilité de cette notion d'indépendance.

Cordialement.

invited3a27037 · 08/09/2013, 17h25

Bonjour l'anonyme.

Encore un problème de dés !

Comment trouve t'on la probabilité de gain d'un joueur ?

$\text{[math]}$

j'aurais fais:

P[X=1] = P[X=1/ dés banque = 1+1] + .... P[X=1/ dés banque = 6+6]

ça fait 36 cas à étudier qu'on peut réduire à 21 (dés xy equivalents à dés yx) ... Dans la formule d'anonyme il n'y a que 11 cas apparemment.

merci

**gg0** · 08/09/2013, 18h14

La somme de 2 dés ne prend que 11 valeurs possibles, de 2 à 12.

Cordialement.

invited3a27037 · 08/09/2013, 18h15

ok, je vois

P[X=1] = P[X=1/ somme dés banque = 2] + .... + P[X=1/ somme dés banque = 12]
ce qui fait 11 cas

Et pour P[X=1 et Y=1] = P[X=1]*P[Y=1/X=1], comment fait on svp ?

**The_Anonymous** · 08/09/2013, 18h54

Envoyé par gg0

En réfléchissant à nouveau à la question,

j'ai fini par comprendre en quoi je me trompais en soupçonnant l'indépendance de X et Y. Et c'est la valeur du coefficient de corrélation qui m'ayant surpris, m'a permis d'avancer :
Si X=1, c'est le plus probablement que le dé du croupier est faible, ce qui augmente la probabilité pour Y de gagner. Donc les résultats des dés sont indépendants, mais les effets de ces résultats ne le sont pas.

Merci de m'avoir permis de progresser encore sur la subtilité de cette notion d'indépendance.

Cordialement.

Je vous ai permis de progresser

#omg xD

Nan plus sérieusement, il faudrait remercier mon prof

mais... Euh... De rien?
En tous cas, merci à vous pour votre aide!

Envoyé par joel_5632

Bonjour l'anonyme.

Encore un problème de dés !

Comment trouve t'on la probabilité de gain d'un joueur ?

$\text{[math]}$

j'aurais fais:

P[X=1] = P[X=1/ dés banque = 1+1] + .... P[X=1/ dés banque = 6+6]

ça fait 36 cas à étudier qu'on peut réduire à 21 (dés xy equivalents à dés yx) ... Dans la formule d'anonyme il n'y a que 11 cas apparemment.

merci

Je pense que les deux calculs aboutissent au même résultat... En tous cas mon raisonnement réside en : Somme de (Probabilité d'obtenir une certaine somme) * (Probabilité de "battre" la banque) = somme de x/36 * y/36, pour x dans [1;6] et y dans [35;0] ...
J'espère que vous aurez compris mon raisonnement...

Cordialement

invited3a27037 · 09/09/2013, 07h19

Bonjour gg0

Comment trouves-tu:

Envoyé par gg0

$\text{[math]}$
en appliquant la formule des probabilités totales

merci

**gg0** · 09/09/2013, 12h09

Soient X', Y' et Z' les valeurs de dés obtenues par les deux joueurs et le croupier.
$\text{[math]}$
Ensuite, on utilise l'indépendance des trois variables X',Y' et Z', et le fait qu'elles ont la même loi, qui est classique (si tu ne connais pas, étudie la loi de X', c'est un bon exercice) :
$\text{[math]}$

Cordialement.

invited3a27037 · 09/09/2013, 14h05

Pourquoi dis-tu que les variables aléatoires X' et Y' sont indépendantes ? Moi je les vois dépendantes exactement comme X et Y sont dépendantes.

J'aurais écrit:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ a déjà été calculé et vaut environ 0.443...

puis pour $\text{[math]}$ utilisation de la formule $\text{[math]}$ que l'on peut trouver ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule...C3%A9s_totales où Bi est une partition de B

Ceci étant dit, ton résultat numérique 0.279.. est correct, je l'ai retrouvé avec une simulation

invited3a27037 · 09/09/2013, 14h21

c'est bon, X' et Y' sont évidemment indépendantes. On ne peut plus rien modifier 5 min après l'envoie d'un post. Je ne connais pas un autre forum qui impose une telle contrainte !

invited3a27037 · 09/09/2013, 14h25

Une remarque encore. Je trouve les exercices de l'anonyme difficiles pour un niveau lycée. Si les exos de probabilité de l'anonyme tombaient au bac au lieu du traditionnel exo sur la loi binomiale qui est chaque années le même ou quasi, ce serait un carnage.

**The_Anonymous** · 09/09/2013, 23h11

Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt ^^

Merci pour l'explication plus explicite au passage

Et quant à :

Envoyé par joel_5632

Une remarque encore. Je trouve les exercices de l'anonyme difficiles pour un niveau lycée. Si les exos de probabilité de l'anonyme tombaient au bac au lieu du traditionnel exo sur la loi binomiale qui est chaque années le même ou quasi, ce serait un carnage.

Ben x) je sais pas, j'ai un peu peur de poster ça en supérieur vu certains topics x)

Ceci dit, merci encore pour vos réponses

Cordialement

invitea726d297 · 09/09/2013, 23h32

Bonjour,
Moi, j'ai une autre approche. L'énoncé n'est pas très précis mais voila ce que je pense.
Il y a 3 joueurs, j1, j2 et la banque. Il jouent avec des dés, mais qu'importe le résultat des dés, la seule chose qui compte c'est si untel a plus qu'un autre.
Donc, il me semblerait intéressant d'étudier les différents scores des 3 joueurs sous la forme j2 < j1 < B etc, quelque soit le nombre égal à la somme des valeurs marquées sur les dés. En d'autres termes il n'y a que 3 résultats possibles 1, 2, 3.
La seule difficulté me parait être le terme "strictement".

**gg0** · 10/09/2013, 09h25

Bonjour.

Jusque là, on a traité l'énoncé qui convenait à The_Anonymous.
Pour ton nouvel énoncé, les calculs se font de la même façon. A toi de faire ...

Cordialement.

NB : Le strictement a été traité sans problème.

invite179e6258 · 10/09/2013, 09h48

je trouve que c'est un problème intéressant et à garder en mémoire parce qu'il illustre bien les notions d'indépendance et indépendance conditionnelle. Ce qui peut surprendre un débutant c'est que les scores des trois joueurs sont bien indépendants mais que les variables X et Y ne le sont pas, ce qui est logique puisqu'elles sont toutes les deux fonction du score du troisième joueur.

invite8cfda9ff · 12/09/2013, 08h40

Salut,

La consigne de l'exercice de The_Anonymous était de montrer que $\text{[math]}$ . Je vais essayer de vous donner une preuve sans calculs de ceci au niveau TS++. Évidemment, on n'aura pas la valeur de la corrélation.

La première chose à remarquer (cf post de The_Anonymous) est que $\text{[math]}$ est du même signe que $\text{[math]}$ . Je vais aussi utiliser le fait que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ où je note $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ le . Comme X et Y ont la même loi on a de plus $\text{[math]}$ .

Le point délicat de l'exercice est d'exploiter l'indépendance des lancers de dés. En effet X et Y elles-même ne sont pas indépendantes. La solution est de regarder ce qui se passe conditionnellement au score du Banquier, noté B ci-dessous. Il n'est pas difficile de vérifier que pour tout entier b, $\text{[math]}$ . En d'autres termes, X et Y sont indépendantes sachant B.

On utilise alors la formule des probabilités totales : $\text{[math]}$

Comme X et Y ont la même loi, on a en fait $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ .

D'un autre côté on a vu précédemment que $\text{[math]}$ . La formule des probabilités totales (encore elle) donne par ailleurs $\text{[math]}$ .

Pour conclure, il suffit donc de prouver que $\text{[math]}$ . C'est une conséquence de la célèbre inégalité de Cauchy-Schwarz (qu'on pourra démontrer à cette occasion) : $\text{[math]}$ appliquée avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Remarque sur les notations :
- pour chaque somme, j'ai abrégé $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ .
- pour les probabilités conditionnelles $\text{[math]}$ .

**gg0** · 12/09/2013, 09h38

Joli, Jukse !!

invite8cfda9ff · 13/09/2013, 09h48

Merci ! À vrai dire je suis assez déçu du rendu de mon message. L'idée de la démonstration (l'indépendance conditionnelle) est simple, mais la lourdeur des notations l’obscurcissent tristement. Bref ce qu'il faut retenir de cette preuve c'est que le résultat est général (et intuitif) : si deux variables aléatoires sont indépendantes et de même loi conditionnellement à une troisième, alors elles sont positivement corrélées.

Question subsidiaire : que dire du cas d'égalité $\text{[math]}$ ?

Bises.

**The_Anonymous** · 13/09/2013, 19h06

Envoyé par Jukse

Question subsidiaire : que dire du cas d'égalité $\text{[math]}$ ?

Que X=Y ?

Ça parait logique, mais dans notre problème, ce serait un peu comme s'il y avait 2 banques attribuées à chaque joueur ^^

"Bises" x)

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