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fonction récursive



  1. #1
    bastinoute

    fonction récursive

    Bonjour,
    J'ai un exercice à faire dans un dm, seulement il me pose quelques difficultés..c'est pourquoi je cherche de l'aide.

    Voici l'enoncé

    On considère la fonction A, fonction de deux entiers n et m définie de la manière suivante :
    A(0, n) = n + 1 pour tout n de IN
    A(m + 1, 0) = A(m, 1), pour tout m de IN
    A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m+1, n)) pour tous m et n de IN.
    1. Calculer A(0, 0), A(0,1), A(1,0).
    2. a. Calculer A(1 ; n) pour tous n ≤ 5.
    b. Emettre une conjecture sur l'expression de A(1, n) et démontrer cette conjecture.
    3. a. Calculer A(2, n) pour tous n ≤ 5.
    b. Emettre une conjecture sur l'expression de A(2, n) et démontrer cette conjecture.
    4. Calculer A(3, n) pour tous n ≤ 5.
    b. Démontrer que pour tout n ∈ IN, A(3, n) = 2^(n + 3) – 3.


    Mes reponses:
    1. A(0,0)=1 A(0,1)=2 A(1,0)=2
    2a; A(1,1)=3 A(1,2)=4 A(1,3)=5 A(1,4)=6 A(1,5)=7

    b. La je suis bloquée car je sais qu'il faut que j'utilise un raisonnement par recurence avec Pn la proposition "A(1,n)=n+2" mais ensuite je ne sais pas quel calcul faire... :/

    Merci d'avance pour votre aide

    -----


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  3. #2
    Médiat

    Re : fonction récursive

    Bonsoir,

    Appliquez, la définition : A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m+1, n))
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    PlaneteF

    Re : fonction récursive

    Bonsoir,

    Tu supposes que : A(1, n)=n+2 (hypothèse de récurrence), et tu dois démontrer que : A(1, n+1)=n+3

    Tu sais que par définition : A(1, n+1)=A[0, A(1, n)] et là tu enchaînes en utilisant l'hypothèse de récurrence (cf. couleur bleue).


    Cordialement


    Edit : Croisement avec Médiat.
    Dernière modification par PlaneteF ; 21/09/2013 à 21h38.

  5. #4
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    d'Accord merci,

    Mais du coup le calcule donne ca :

    A(m+1,n+1)=A[m,A(m+1,n) ]
    A(1,n+1)=A[0,A(1,n)] avec m=0
    A(1,n+1)=A(0,n+2)

    Mais cela ne nous donne pas A(A,n+1) = n+3 ????

    Merci de votre aide

  6. #5
    ansset

    Re : fonction récursive

    mais si ,
    que vaut A(0,n+2) ? voir l'énoncé.

    ps: petite coquille de frappe dans ton mess A(1,n+1) et pas A(A,n+1)
    Dernière modification par ansset ; 22/09/2013 à 08h38.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    Finalement j'ai réussit en faisant le lien avec la formule 1 D

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  10. #7
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    Ensuite pour la question trois a: Je trouve
    A(2,0)=2
    A(2,1)=5
    A(2,2)=7
    A(2,3)=9
    A(2,4)=11
    A(2,5)=13

    Ce qui m'a permis dans la question b. de conjecturer que A(2,n)=2n+3
    Mais même problème je ne sais comment procéder avec la récurrence

    Sachant que on suppose que A(2,n)=2n+3; et qu'on veut démontrer que A(2,n+1)=2n+4... Je ne sais pas comment commencer le calcul!!

    Merci de votre aide

  11. #8
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    Mais je ne suis pas sure pour A(2,n+1)=2n+4
    ???

  12. #9
    ansset

    Re : fonction récursive

    repars de :
    A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m+1, n))
    donc
    A(2,n)=A(1+1,n)=?
    et untilise ce que tu sais sur A(1,n) ( l'exercice précédent ).
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    Oui j'ai réussit mais je retombe sur A(2,n+1)=2n+5
    C'est bien cela, mais donc ma supposition est fausse?

    Merci de ton aide

  14. #11
    ansset

    Re : fonction récursive

    Citation Envoyé par bastinoute Voir le message
    Oui j'ai réussit mais je retombe sur A(2,n+1)=2n+5
    C'est bien cela, mais donc ma supposition est fausse?

    Merci de ton aide
    non c'est faux:
    déjà que vaut A(1,n) ? pour être sur.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #12
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    Pour la question 4:

    La a. Je trouve

    A(3,0)=5
    A(3,1)=13
    A(3,2)=29
    A(3,3)=61
    A(3,4)=125
    A(3,5)=253

    Mais alors pour la b. je ne sais pas du tout par ou commencé pour demontrer que A(3,n)=2^(n+3)-3...
    Faut t'il encore raisonner par récurrence ?

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  17. #13
    ansset

    Re : fonction récursive

    stop,
    dejà tu te trompe je crois sur A(1,n)
    d'ou erreur sur A(2,n) et encore sur A(3,n) !
    A(1,n) = en fonctiion de n ?
    A(2,n ) = en fonction de A(2,0) et ensuite en fonction de n. ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #14
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    A(1,n)=n+2
    A(2,n)=2n+3
    ??? Non?

  19. #15
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    Je pense que c'est juste... J'ai besoin d'aide pour démontrer la question 4... :/

  20. #16
    ansset

    Re : fonction récursive

    Citation Envoyé par bastinoute Voir le message
    A(1,n)=n+2
    A(2,n)=2n+3
    ??? Non?
    A(2,0)=5 et pas 3 !
    et A(2,n)=2n+5

    pour A(3,n) , il faut refaire une recurrence tj en partant de
    A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m+1, n))
    en calculant A(3,0)
    et chercher
    A(3, n+1) sachant A(3,n)= 2^(n + 3) – 3.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #17
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    Si si A(2,0)=A(1,1)=3
    Oui j'ai reussit, merci beaucoup

  22. #18
    ansset

    Re : fonction récursive

    Citation Envoyé par bastinoute Voir le message
    Si si A(2,0)=A(1,1)=3
    Oui j'ai reussit, merci beaucoup
    non
    je ne sais pas comment tu as reussi avec A(2,0)=3 ta formule est fausse.
    A(2,0) =A(1,A(1,1))=A(1,1)+2=3+2=5
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  24. #19
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    Non,
    A(2,0)=A(1,1) grace à la deuxième formule

  25. #20
    ansset

    Re : fonction récursive

    oui, oui, pardon,
    désolé, j'étais sur 3 discussions en même temps.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #21
    bastinoute

    Re : fonction récursive

    Pas de souci je te remercie pour ton aide

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