Explication sur les nombres complexes

[THESO]

Bonjour à tous ,aujourd'hui je poste ici pour avoir des explications sur mes question sur les nombres complexes.
J'en ai plusieurs malgrès le faites que je connaisse mon cours j'ai du mal a débuter sur mes exercices ,peut etre par manque de méthodes ,bref je ne sais pas.Donc voilà le but de mon topic ,j'aimerais vraiment comprendre parce que j'ai un contrôle mardi sur les nombres complexes et je compte le réussir ,j'espère que vous allez pourvoir m'aidez .
Premierement dans Résoudre des équations dans C:
Développer le produit (z²-3z+1)(z²+z+2)
en déduire la résolution de l'équation z^4-2z^3-5z+2=0
j'ai donc développer jusqu'a z^4+z^3-2z^2-6z²-6z+z²+z+2
=>z^4+z^3+z²-6z²-5z+2
je suis bloquer a partir de là , je sais que ensuite il faut utiliser delta et résoudre.Donc si quelqu'un peut m'éclaircir.
Ensuite dans la partie Déterminer des ensembles de points éterminer dans chaque cas l'ensemble des point M d'affixe z.
a.Z-1/z+2i (réél)
j'ai donc remplacer z par (x+iy),ce qui donne :
(x+iy)-1/(x+iy)+2i
mon probleme ce que je ne sais pas comment continuer après.

Et enfin dans la partie Calcul et équations:
Résoudre dans C les équations suivantes :Z²-racine(2z)+1+0 et z²+racine(2z)+1=0
En déduire les solution de l'équation z^4=-1

Donc voilà ce seras le type de question les plus importantes pour mon ds ,je ne sais pas si mon probleme réside sur le fait de ne pas comprendre les énoncés mais j'ai besoin d'aide donc toutes les méthodes ,technique sont la bienvenue
Merci d'avance
Bonne apres-midi
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[mickan]

Bonjour,
pour la première question, il faut utiliser la factorisation. Donc: (z²-3z+1)=0 ou (z²+z+2)=0
Par exemple la première donne z=(3(+/-)sqrt(5)/2, je te laisse la seconde.
Pour la seconde question (x+iy)-1/(x+iy)+2i =t réel donne (x-1)+iy=tx+i(ty+2) soit en séparant la partie reel et imaginaire: (x-1)=tx et y=ty+2
d'ou x=1/(1-t) et y=2(1-t).
pour le calcul, les z ne sont pas dans la racine.

[gondebaud]

Bonjour,
Pour la première partie :

Développer le produit (z²-3z+1)(z²+z+2)
en déduire la résolution de l'équation z^4-2z^3-5z+2=0
j'ai donc développer jusqu'a z^4+z^3-2z^2-6z²-6z+z²+z+2
=>z^4+z^3+z²-6z²-5z+2
je suis bloquer a partir de là , je sais que ensuite il faut utiliser delta et résoudre.Donc si quelqu'un peut m'éclaircir.

- Le développement de (z²-3z+1)(z²+z+2) est hélas faux
- Le delta n'est valable que pour les équation du second degré, ce qui n'est pas le cas ici (degré 4). Une fois le développement refait et juste, vous pourrez résoudre l'équation si vous réfléchissez bien.

Pour la seconde partie, en train d'y réfléchir... avez-vous essayé d'utiliser la forme conjuguée pour le 1/z, par exemple ?

Cordialement.

[THESO]

Lorsque je développe je trouve :z^4+z^3+2z²-3z^3+6z+z²+z+2
=z^4+z^3+1z²-6z²-6z+z²+z+2
=>z^4+z^3+z²-6z²-5z+2

Si on peut me corriger parce que je n'arrive pas a m'auto corriger

[A voir en vidéo sur Futura]

[gondebaud]

z^4+z^3+2z²-3z^3+6z+z²+z+2 => il devrait y avoir 9 termes et non 8
z^4+z^3+1z²-6z²-6z+z²+z+2 => erreur en rassemblant les z^3

[THESO]

Merci pour la réponse et la correction mais j'ai une question es-ce que je peut résoudre (z²-3z+1)(z²+z+2)=0
Et utilisé delta ?
genre z²-3z+1=0 et z²+z+2=0
et si Delta<0 deux solutions complexes conjuguées ?

[gondebaud]

Merci pour la réponse et la correction mais j'ai une question es-ce que je peut résoudre (z²-3z+1)(z²+z+2)=0
Et utilisé delta ?
genre z²-3z+1=0 et z²+z+2=0

(z²-3z+1)(z²+z+2)=0 est du type A×B=0 donc à votre avis ?
Pour le delta, oui on peut (équations du second degré). Si delta<0, j'ignore si on va obtenir deux racines conjuguées, sachant que l'on résout dans C , il me semble que oui mais à confirmer.

[THESO]

Ben j'ai essaye et trouver solution negative

[THESO]

on peut m'aider pour le deuxieme exo ?

[gondebaud]

Je dois malheureusement m'en aller mais une question :
C'est bien et non (z-1)/(z+2i) ? (mickan semble avoir suivi la seconde, c'est pourquoi je demande pour être sûr)

[THESO]

Non c'est bien (z-1)/(z+2i)
Mais j'ai pas compris le fait que le t integre l'équation

[joel_5632]

et le petit a, il a disparu ? ?

a.Z-1/z+2i (réél)

[THESO]

a c'est comme le 1) c'est la numerotation de la question

[gondebaud]

Re... (juste de passage)
Ca y est, pour les racines conjuguées, ça me revient :
Soit une équation de type az²+bz+c = 0, z appartenant à C.
- Si a,b et c sont des nombres réels, comme dans la première partie, les racines seront des nombres réels si delta>0 ou delta=0 et des nombres complexes conjugués si delta<0 (c'est ce cas que vous avez vu en classe par extension de l'équation ax²+bx+c=0 dans C, notamment si delta<0).
- Si a, b ou c n'est pas un nombre réel, les racines seront la plupart du temps des nombres complexes non réel et les deux racines ne seront pas conjuguées. Exemple : z² + (1+i)z + i =0 admet deux racines non conjuguées : 1 et i. La méthode en calculant delta pour les trouver fonctionnera néanmoins dans tous les cas (je ne sais pas si ce cas est au programme en lycée, c'est en tout cas ici hors du cadre de l'exercice).

Pour la seconde partie, ll vous suffit de suivre l'idée de Mickan :

Pour la seconde question (x+iy)-1/(x+iy)+2i =t réel donne (x-1)+iy=tx+i(ty+2) soit en séparant la partie reel et imaginaire: (x-1)=tx et y=ty+2
d'ou x=1/(1-t) et y=2(1-t).
pour le calcul, les z ne sont pas dans la racine.

Cependant, attention, je vois deux erreurs :
- Une (petite) erreur dans (x-1)+iy=tx+i(ty+2)
- En multipliant les deux membres par z+2i, il a alors oublié de parler du cas où z+2i=0.

Bon courage!

[gondebaud]

(Edit : Oups, correction : Exemple : z² + (1+i)z + i =0 admet deux racines non conjuguées : -1 et -i )

[THESO]

Bonjour merci pour vos réponse mais je ne comprend pas que vaut t et pourquoi vous l'utiliser ?

[gondebaud]

Bonjour,
Pour le peu que j'ai compris, il faut trouver les points M d'affixe z de façon que (z-1)/(z+2i) soit un nombre réel, et ce nombre réel est désigné par t tout simplement. Il n'est pas défini plus que cela, c'est un nombre réel.
Ce n'est pas une obligation de l'utiliser pour pouvoir répondre à la question. Si on ne l'utilise pas, il faudra alors essayer d'écrire (z-1)/(z+2i) sous la forme a+bi, a et b réels, puis analyser ce qu'il se passe lorsque b=0 (partie imaginaire nulle), ce sera alors une autre méthode.
Si on utilise t (méthode de Mickan), on pourra alors comparer séparément les parties réelles et imaginaires des membres de l'équation qu'il a obtenue puis pouvoir répondre à la question.

A voir quelle est le mieux.
Cordialement.