DM 1ère S

[Valerie_L]

Bonjour, je suis en 1ère S et j'ai un DM de maths à rendre rapidement, le problème c'est que je bloque complètement sur un exercice.

Voici l'énoncé :
On considère la parabole P d'equation Y = 2x² -5x + 3.

Pour tout nombre reel m, on considère la Droite Dm d'équation y = -2x + m

1) Determiner, suivant les valeurs de m , le nombre de points d'intersection de la droite Dm de la parabole

2 ) Lorsque Dm coupe P en deux points Am et Bm, on appelle Im le milieu du segment [AmBm].

On note E l'ensemble des points Im quand m parcourt R

A) A l'aide du logiciel, conjecturer la nature de E ( Le logiciel étant Géogébra )

b ) Demontrer la conjecture précedente

Je penche toujours sur la 1ère question sans y trouver de réponse, j'ai pour le moment " compris " qu'il fallait résoudre 2x²-5x+3=-2x+m mais je n'y arrive pas ( Ce que je trouve ne me paraît pas cohérent : 2x² - 3x - (m-3)=0 avec Delta = 33-8m )

Je suis totalement paumée, j'espère que vous pourrez m'aider rapidement d'abord pour la question 1) puis pour le reste :/
Merci d'avance à ceux qui me répondront!
-----

[RuBisCO]

Bonsoir,

..... On ne te demande dans la première question que de donner le nombre de points d'intersection, c'est-à-dire comme tu l'as fait écrire l'équation mais ne pas la résoudre à proprement parlé, seulement donner le nombre de solutions. Et il y a un outil pour cela : le signe du discriminant .

[Valerie_L]

Mais on parle du discriminant de toute l'équation ( sois 2x²-5x+3=-2x+m ) ou seulement de 2x²-5x+3 ?
Et donc si j'arrive à trouver le signe du discriminant j'obtiendrais le nombre de racines ( si il y en a ) afin de faire un tableau de signe ou ?
J'avoue que rien n'est très clair de mon côté pour le moment :/

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Je traduis les propos de Rubisco :
Tu es bien partie. Tu as l'expression du discriminant et il faut étudier le signe de ce discriminant en fonction de m.
C'est largement à ta portée.

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[RuBisCO]

Petite remarque : ton polynôme est juste, mais je ne trouve pas le même discriminant.

[The_Anonymous]

Tu y es presque!

En fait, il faut bien regarder l'équation .

Calculer le disciminant a alors été exactement la bonne méthode : vous trouvez .

Je ne sais pas si je fais bien de vous contredire, mais je reverrais votre delta.

Sauf erreur, vous avez .

Donc, cela vous fait .

Je vous laisse finir.

Ensuite, vous ne devriez pas être sans savoir que L'équation n'a pas de solution; L'équation admet une seule solution et L'équation admet deux solutions.

Sachant cela, et que les solutions correspondent à des points d'intersection, je vous laisse continuer

Cordialement

Édit : De quelle lenteur j'ai fait preuve....

[RuBisCO]

Elle a au moins l'avantage d'être complète.

[Duke Alchemist]

Re-

Petite remarque : ton polynôme est juste, mais je ne trouve pas le même discriminant.

Au temps pour moi

Bien relevé RuBisCO

Duke.

[The_Anonymous]

Elle a au moins l'avantage d'être complète.

Si on veut x)

Reste à voir si Valerie_L la trouvera compréhensible x)

[Valerie_L]

D'abord, je tiens à vous remercier de l'aide que vous m'apportez!

Ensuite, j'ai recalculé Delta et j'ai trouvé qu'il est égale à -15+8m

Donc,

Si m < 15/8 alors le discriminant sera de signe négatif et donc il n'y aura pas de points d'intersection
Si m = 15/8 alors le discriminant vaudra 0 et il n'y aura qu'1 seul point d'intersection
Si m > 15/8 le discriminant sera de signe positif et il y aura 2 points d'intersection

Est ce bon ou suis-je sur la mauvaise voie ?

[RuBisCO]

C'est le bon discriminant et c'est le bon résultat. Tu peux t'en convaincre avec une petite simulation Geogebra.

[Valerie_L]

Merci beaucoup pour la 1ère question!

Pour la question 2) , Lorsque Dm coupe P en deux points ( Am et Bm ) cela signifie que m > 15/8, m variant donc sur l'intervalle ] 15/8; + inifini [ , mais pour la suite je nage encore ... Comment à l'aide du logiciel puis-je conjecturer la nature de E ? ( conjecturer la nature de E signifie trouver son ensemble de définition ? )

[RuBisCO]

As-tu essayé de faire la figure ? Tu remarques quelque chose d'intéressant sur les positions du milieu.

[The_Anonymous]

Merci beaucoup pour la 1ère question!

Pour la question 2) , Lorsque Dm coupe P en deux points ( Am et Bm ) cela signifie que m > 15/8, m variant donc sur l'intervalle ] 15/8; + inifini [ , mais pour la suite je nage encore ... Comment à l'aide du logiciel puis-je conjecturer la nature de E ? ( conjecturer la nature de E signifie trouver son ensemble de définition ? )

Je dirais plutôt trouver une formule intéressante pour calculer les coordonnées du milieu de n'importe quel segment (ayant pour extrêmités deux solutions de l'équation), quel que soit la valeur de m.

Mais cela est très dur (on peut dire impossible je pense) de trouver cette formule en regardant l'équation... Une simulation (avec des m particuliers, en construisant la parabole (sur Géogébra par exemple) et en regardant ces propriétés...).

Bon travail!

Cordialement

Une minute d'avance

[Valerie_L]

Il faut d'abord que je me renseigne précisément sur comment utiliser ce logiciel ( l'année passée n'ayant travaillé qu'exclusivement sur Algobox afin de faire des algorithmes ) car je ne sais pas m'en servir correctement.
Pour tracer la droite d'équation y=-2x+m et remarquer des choses sur le milieu de ces deux points, il faut faire plusieurs essais avec des valeurs de m différentes ( mais toujours > 15/8 ) afin de constater quelque chose ?

[RuBisCO]

Oui, c'est assez flagrant, dans le sens que l'expression de l'ensemble n'est pas compliquée.
Tu as Geogebra d'installé sur ton ordinateur ?

[joel_5632]

bonsoir

dans la zone de saisie tu peux entrer y = 2x²-5x+3

puis quelques équations de droite

y = -2x+1
y= -2x+15/8
y = -2x+5
y = -2x+7

ensuite tu as un icone "nouveau point" puis intersection entre 2 objets, trace les points intersections entre la parabole et les droite

puis dans la ligne de saisie milieuCentre[ , ] pour tracer les centres

puis trace une droite entre les centres

Pour démontrer, question 2b, je rappelle que la somme des deux racines de l'équation ax²+bx+c = 0 est -b/a

[RuBisCO]

Oulà, Géogebra a donné de meilleurs outils. On peut créer un curseur m et le faire varier. Cela permet d'économiser des droites et des points.

[joel_5632]

comment fait on pour créer un curseur ?
ok j'y suis arrivé
curseur[0, 10]

[RuBisCO]

En appuyant sur l'icône "Curseur", sinon il y a la commande Curseur.

[EDIT] : on n'a pas besoin de moi finalement.

[RuBisCO]

Puisque je m'ennuie un peu, voilà de quoi illustrer le sujet :

[joel_5632]

@Rubisco

Dans ton animation Géogébra, est-ce toi qui a tracé la droite verticale en pointillé ou bien est-ce les milieux des 2 points d'intersection entre la parabole et les droites qui impriment cette droite ?

Je pense que tu as placé cette droite à la main car elle descend sous la parabole.

L'idéal serait de faire tracer le lieu des points milieux par géogébra. Mais je n'y suis pas arrivé.

[RuBisCO]

Bien sûr, cette droite a été placée à la main et n'est pas "issue du point", c'est pour cela que je l'ai mise d'une autre couleur : la nuance est que cette droite n'est pas l'ensemble des solutions cherché.
Pour tracer le lieu des points, c'est possible avec Geogebra : il s'agit de la commande Lieu, accessible dans le quatrième onglet.

[Valerie_L]

Bonjour, merci encore pour toute votre aide,
A l'aide du logiciel j'ai réussi à conjecturer la nature de E ( sois : Lorsque M parcourt l'intervalle [ 15/8 ; + infini [ le point I parcourt une demi-droite qui est parallèle à l'axe des ordonnés )

Il me reste maintenant " juste " à démontrer cette conjecture, j'ai " compris " que cette demi-droite avait pour équation x=constante avec y > ou = à .... ( Avec le graphique je dirais x=0.75 avec y > ou = à 0.4 ) mais je ne sais pas vraiment comment démontrer le tout

Merci pour ceux qui prendront encore la peine de m'aider!

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour m > 15/8, tu as deux points d'intersection dont tu connais les abscisses (solutions de l'équation précédemment résolue).
Tu détermines les ordonnées de ces points sans oublier qu'ils appartiennent à la courbe (ils vérifient donc l'équation de la parabole).
Enfin, tu appliques la relation te donnant les coordonnées du milieu d'un segment dont tu connais les coordonnées des extrémités.
Tu devrais après simplification retrouver ce qui est demandé.

Duke.

[Valerie_L]

Euh, j'avoue que je ne vois pas trop, je suis bien d'accord que quand > 15/8 il y a deux points d'intersections mais, selon m ces points d'intersections varient ainsi que leur abscisses non ?

[Duke Alchemist]

Re-

Bien entendu que cela dépend de m mais il y a au niveau des abscisses il y a une simplification sympathique (ce n'est plus dépendant de m)
C'est plus laborieux pour les ordonnées qui est plus difficilement simplifiable mais cela dépend toujours de m.
Quoiqu'il en soi, cela te permet de conclure.

Duke.

[Valerie_L]

Depuis tout à l'heure j'essaie de conclure, mais j'en arrive à calculer 2 X ( 3+racine carrée de -15+8 /2 )² + 3 X ( 3-racine carrée de -15+8 /2 ) -(m-3 ) pour trouver l'ordonnée de d'un des points d'intersection, j'ai vraiment l'impression de faire fausse route ?

[Duke Alchemist]

Re-

Pourquoi as-tu cette impression ?
Maintenant, il n'est pas utile de la développer parce que c'est dangereux et les expressions se simplifient mieux lorsque tu effectues le calcul (yA+yB)/2.

Duke.