la continuité de sin(x)/x

[invite599f94df]

merci de nous avoir rejoint dans cette discussion et de nous éclairer sur ce point.
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[invite50fe7245]

Bonjour
il faut déterminer la dérivée de
pour comprendre le comportement de cette fonction à la limite de x=0

[invite7c2548ec]

Bonjour depuis longtemps on sait que limite sin(x)/x quand x--> 0 est égale à 1 , c'est pas par calcule de limite si puis je dire ainsi , mais par encadrement ;

Cordialement

[invite7c2548ec]

Re ici j'ajoute seulement ceux ci limite de Sin(x)/x quand x-->0:

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite599f94df]

Re ici j'ajoute seulement ceux ci limite de Sin(x)/x quand x-->0:

Cordialement

merci Topmath
mais ici nous sommes intéresser en particulier par la continuité dans ce point
Cordialement.

[invite50fe7245]

Bonjour
il faut déterminer la dérivée de
pour comprendre le comportement de cette fonction à la limite de x=0

la dérivée de sur un intervalle dans lequel
étant

on doit verifier pour

de sorte qu'on doit verifier pour

ce qui est vrai puisque

en calculant cela reviens donc à determiner pour

à present on sait que la derivée tend vers 0 pour x tend vers 0
de sorte que la limite recherchée tend bien vers un réel

il reste plus qu'à demontrer que ce réel est 1

ce qui est facile puisque à l'entourage de 0
sin(x) tend vers la même valeur que x et donc le rapport tend vers 1

[invite7c2548ec]

Bonjour MAROMED une petite question est ce que vous avez étudier le développement limité aux lycée , ça fait longtemps que j'ai oublier le programme de la classe du terminale merci ?

Cordialement ;

[invite50fe7245]

je suis désolé
je ne suis jamais allé au lycée j'ai supposé que MAROMED posait une question en rapport avec le lycée
si ce n'est pas le cas je ne pouvais pas savoir cela
bonne journée

[Seirios]

Bonjour,

Pour répondre à la question, la fonction n'est pas continue en puisqu'elle n'y est pas définie, mais la fonction si et est bien continue en puisqu'effectivement (pour le montrer, on peut reconnaître un taux d'accroissement).

[Seirios]

la dérivée de sur un intervalle dans lequel
étant

on doit verifier pour

de sorte qu'on doit verifier pour

ce qui est vrai puisque

en calculant cela reviens donc à determiner pour

à present on sait que la derivée tend vers 0 pour x tend vers 0
de sorte que la limite recherchée tend bien vers un réel

il reste plus qu'à demontrer que ce réel est 1

ce qui est facile puisque à l'entourage de 0
sin(x) tend vers la même valeur que x et donc le rapport tend vers 1

La première partie, sur le calcul de la limite de la dérivée, est incorrecte ; la second partie est très vague...

[Médiat]

Bonjour MAROMED,

Ne tenez pas compte des interventions précédentes (sauf celles de Seirios), qui au mieux sont fausses, ou n'ont pas de sens.

La question de la continuité d'une fonction en un point qui n'est pas de son domaine de définition n'a pas lieu d'être cf. l'explication de votre ami.

[invite50fe7245]

bonjour Mediat
si on parle de limite on donne sa valeur à l'approche sur x=0
ce qui est faisable
donc mon raisonnement tiens
sauf que il y a aussi celle de Serios qui est plus claire

etudier une fonction sans etudier sa derivée c'est dangeureux non?

bonne journée Mediat

[invite599f94df]

Bonjour MAROMED une petite question est ce que vous avez étudier le développement limité aux lycée , ça fait longtemps que j'ai oublier le programme de la classe du terminale merci ?

Cordialement ;

non le développement limité n'est pas dans le programme de lycée. seulement Topmath je veux t'explique une chose c'est que je ne suis pas un élève de lycée j'ai une Licence en Informatique et mathématique et j'ai fait des cours supplémentaire en mathématique de lycée donc je veux des réponse au niveau lycée . et de temps en temps je pose des question pour discuté et savoir plus sur des choses et des points que Je n'ai pas bien comprendre.

[invite50fe7245]

bonjour Maromed

il faut toujours etudier le comportement de la derivée d'une fonction pour éviter des pieges
juste que n'étant jamais allé au lycée je ne savais pas que c'était pas au programme
bonne journée Camarade

[invite599f94df]

Bonjour,

Pour répondre à la question, la fonction n'est pas continue en puisqu'elle n'y est pas définie, mais la fonction si et est bien continue en puisqu'effectivement (pour le montrer, on peut reconnaître un taux d'accroissement).

Bonjour Seirios
mais géométriquement la fonction sin(x)/x n'a pas de discontinuité dans le point 0. seulement si la courbe est fausse :/
Cordialement.

[invite50fe7245]

Bonjour Maromed
non!
dire "géométriquement " n'a pas de sens formellement parlant
elle n'a strictement pas de solution sur 0
tout le procédé ici (le miens ou celui de serios) consistant à démontrer que la fonction tend vers 1 lorsque x tend vers 0
bonne journée

[Médiat]

si on parle de limite on donne sa valeur à l'approche sur x=0

Mal dit, et hors sujet, la question porte ici sur la continuité, pas sur la limite.

donc mon raisonnement tiens

Non

sauf que il y a aussi celle de Serios qui est plus claire

Surtout, elle est juste, elle !

etudier une fonction sans etudier sa derivée c'est dangeureux non?

Hors sujet, et puis la dérivée en un point où la fonction n'existe pas ...

[Médiat]

Bonjour Seirios
mais géométriquement la fonction sin(x)/x n'a pas de discontinuité dans le point 0.

Elle n'est pas discontinue en 0, elle n'existe pas !

[invite50fe7245]

Re bonjour Mediat
j'arrête de polémiquer(j'aurai tout dit)
mais quand même honnêtement:
etudier la derivée ne signifie pas qu'on donne une valeur sur un x où la valeur de cette derivée n'existe pas
etudier la derivée signifie qu'on souhaite connaitre le comportement de la fonction au voisinage où se situe la discontinuitée

ici au voisinage signifie derivée selon sauf erreur
f(x)-f(x-e)/e avec 0< e < x et e tend vers x et x tend vers zero
car ici f(x)<f(x-e) donc la derivee est negative au voisinage et tend vers zero

c'est toujours dangeureux d'etudier une fonction sans ce soucier de sa derivee

bonne journée

[Médiat]

c'est toujours dangeureux d'etudier une fonction sans ce soucier de sa derivee

Toujours hors sujet !

[Seirios]

mais géométriquement la fonction sin(x)/x n'a pas de discontinuité dans le point 0. seulement si la courbe est fausse :/

Sur le graphique, c'est le graphe de g que tu vois ; sur celui de f, il faudrait faire apparaître un petit trou en (0,1). Donc intuitivement, f n'est pas continue puisqu'il y a un trou, mais le trou peut être comblé en ajoutant un point, et on obtient la fonction g qui est bien continue (c'est le principe du prolongement par continuité).

[invite50fe7245]

bonjour Mediat

je suis stupéfait!

le sujet étant d'etudier une fonction au voisinage d'un point(j'ai dit au voisinage et pas sur ce point là )

alors à moins d'être devin je vois pas comment on fait pour étudier une fonction sans etudier sa derivée

là je dit plus rien car j'ai du travail et pas trop de temps

bon samedi Mediat

[Seirios]

Il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables, alors si on ne pouvait pas étudier la continuité sans parler de dérivabilité...

[invite50fe7245]

Il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables, alors si on ne pouvait pas étudier la continuité sans parler de dérivabilité...

Bonjour Serios
mais celle de MAROMED est derivable sur l'intervalle R+* et R*-
c'est justement pourquoi il est important de s'y interesser

on est pas en train de parler de fonction non derivables mais d'une fonction derivable sur un intervalle donné

[Médiat]

Mais enfin, relisez le message #1, la seule question est celle de la continuité en 0, pas l'étude de la fonction !

[invite7c2548ec]

Bonjour à tous :

non le développement limité n'est pas dans le programme de lycée. seulement Topmath je veux t'explique une chose c'est que je ne suis pas un élève de lycée j'ai une Licence en Informatique et mathématique et j'ai fait des cours supplémentaire en mathématique de lycée donc je veux des réponse au niveau lycée . et de temps en temps je pose des question pour discuté et savoir plus sur des choses et des points que Je n'ai pas bien comprendre.

C'est très bien MAROMED d'avoir une Licence en Informatique et mathématique et s 'intèrsser aux mathématique de cette façon , d'autant plus que c'est un outil puissance pour l'informatique mais les exercices posté par votre personne , sont pas à la porté de tout le monde (méritent autant d'attention ) , enfin bonne réussite dans vos études et en particulier les mathématique bonne après midi MAROMED .

Cordialement

[invite50fe7245]

Mais enfin, relisez le message #1, la seule question est celle de la continuité en 0, pas l'étude de la fonction !

c'est pas grave Mediat
moi je dit Bravo si vous y arrivez!
n'oubliez pas qu'elle est derivable sur R+* et R-*
pourquoi s'en priver?
enfin
c'est fini pour moi & je vous souhaite un excellent week end et oublions ça
pour ma part je vais méditer ici ->

**** Lien complètement Hors sujet ****
ça m'aide beaucoup en math car Brenno se demande POURQUOI?

[invite51d17075]

Bonjour Seirios
mais géométriquement la fonction sin(x)/x n'a pas de discontinuité dans le point 0. seulement si la courbe est fausse :/
Cordialement.

bonjour,
ce n'est pas le point.
telle qu'ecrite la fonction f(x)=sin(x)/x n'est pas définie en 0.
donc, il n'y a aucun sens à parler de continuité.
sauf , comme tu le fais à la fin du post d'introduction à completer la définition de f à savoir
f(x)=sin(x)/x si x diff de 0
f(0)=1.
dans ce cadre elle est bien continue.

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous , la continuité de Sin(x)/x en x₀=0 .

Cordialement

[inviteaf48d29f]

Bonsoir,

La fonction x ⟼ sin(x)/x, de même d'ailleurs que la fonction x ⟼ x²/x, n'est pas définie en 0. Ca n'a donc pas de sens de demander si elle est continue en ce point qui est à l'extérieur de son domaine de définition.

En revanche là où l'argument de Macromed est pertinent c'est que sin(x)/x admet une limite finie lorsque x tend vers 0 et donc que la fonction f : ℝ\{0} ⟶ ℝ , x ⟼ sin(x)/x peut se prolonger par continuité en une fonction g : ℝ ⟶ ℝ définie par :
g(x)=f(x) si x≠0 et g(0)=1.
Formellement f et g sont des fonctions différentes, juste elles prennent les mêmes valeurs sur ℝ\{0} et g est continue.