continuité et continuité uniforme

[invited3a0e504]

Bonsoir,
Je n'arrive pas a résoudre ces deux questions:
1. étudier la continuité de f(x) = x si x est rationnel et 1-x si x est irrationnel
j'ai montré que f est continue en 1/2 et je pense qu'elle n'est pas continue dans le reste des réels. j'ai pris epsilon = valeur absolue de a-1/2 mais je n'arrive pas a faire les calculs.
2. étudier la continuité uniforme de f(x)= (e^x)cos(1/x) sur (0,1)
je pense qu'elle n'est pas uniformément continue mais encore une fois je n'arrive pas a le prouver
merci beaucoup de votre aide.
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[inviteea028771]

Pour la 1), oui, c'est ça, et pour le rédiger proprement, passer par l'absurde est une bonne solution:

Tu pose ton epsilon = |a-1/2|
Tu suppose que si elle était continue en a, il y aurai un eta (plus petit que epsilon histoire d'éviter les problèmes) tel que f(]a-eta,a+eta[) est inclu dans ]f(a)-epsilon, f(a)+epsilon[
Tu dis que par densité, tu as forcément un rationnel/un irrationnel b dans ]a-eta,a+eta[
Calculer/encadrer f(b)
Conclure

Pour la 2), Je te conseille de regarder une suite de points ou ta fonction est nulle et une suite ta fonction est strictement plus grande que 1, et ou la distance entre des points de ces deux suites peut être rendue arbitrairement petite (par exemple, si elles tendent toutes deux vers le même point). Fait ensuite le lien avec la continuité uniforme (ou plutôt son absence)

[invited3a0e504]

merci beaucoup.
pour la 1) c'est justement la ou j'ai le probleme, je vois pas comment encadrer f(b)
puis pour la 2) la seule suite de points ou la fonction est nulle que j'ai trouvée est 1/(2npi + pi/2) mais sa limite est 0 donc elle ne peut pas avoir lameme limite qu'une suite strictement plus grande que 1...

[inviteea028771]

Il faut faire des cas : si a est rationnel, f(b) est entre 1-eta-a et 1+eta-a, et si a < 1/2, alors eta est entre 0 et 1/2-a, donc f(b) est entre 1/2 et 1-a.

Attention, pour la 2), je parle d'une suite qui a même limite, mais dont les images n'ont pas la même limite (par exemple la suite 1/(2pi*n) )

[A voir en vidéo sur Futura]