Vect{(1,1),(2,2)}

[bobkit]

Bonsoir,

Suite à l'addition de deux s.e.v, je tombe sur F=vect{(1,1),(2,2)}
Je constate bien que la famille ( (1,1),(2,2) ) est liée. Ainsi, je suis persuadé qu'il est possible de "réduire" l'écriture de F, et je tends à ceci : F=vect{(1,1)}.

Est-ce juste ? Si oui quel est le rédactionnel à employer pour passer de l'un à l'autre ? Si non, quelle est la "réduction" apportable et par quel procédé ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Oui, tu as raison, et tu as donné une explication suffisante. Qu'on peut aussi écrire "(2,2) est engendré par (1,1)".

Cordialement.

[bobkit]

Merci beaucoup.

[bobkit]

J'ai une autre question toujours en rapport avec les vecteur et les s.e.v. :

pourquoi vect{(1,0,0)} et vect{(0,1,1)} ne sont pas des s.e.v. supplémentaires dans R³ ?
Je sais que pour que F et G soient supplémentaires, il faut que : F + G = E et F inter G = {0_E}

Merci par avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Il suffit que tu vérifies les deux conditions pour comprendre. As-tu regardé ce qu'est vect{(1,0,0)}+vect{(0,1,1)} ?

[bobkit]

vect{(1,0,0)} + vect{(0,1,1)} = vect{(1,0,0),(0,1,1)} = {(λ₁,λ₂,λ₂) | λ₁,λ₂ Є R²} ≠ R³ c'est cela ?

[bobkit]

Je m'étais totalement embrouillé, mais tout est plus clair maintenant. Je résume donc :

vect{(1,0,0)} + vect{(0,1,1)} = vect{(1,0,0),(0,1,1)} donc ≠ de R³ (puisque seulement 2 éléments dans cette famille au lieu des 3 requis)

Ce qu'on peut aussi voir en disant que F=vect{(1,0,0)} et G=vect{(0,1,1)} sont supplémentaires dans R³ ssi 0_R³ Є F⋂G et dim(F) + dim(G) = dim(R³) or :

dim(F) + dim(G) = 1 + 1 ≠ dim(R³) = 3 donc condition non vérifiée donc pas supplémentaires

concernant 0_R³ Є F⋂G, je ne suis pas sûr de la démarche à adoptée pour répondre ...
j'ai fait :
E=F⋂G=vect{(1,0,0),(0,1,1)}
v(x,y,z) Є E ⇔ v=x(1,0,0) + y(0,1,1) ⇔ v=(x,y,y) ⇔ z=y ⇔ z-y=0 ⇔ E={(x,y,z)ЄR³ | z-y=0}
0_R³ = (0,0,0) ; 0-0=0 donc 0_R³ Є F⋂G mais je pense me tromper

Merci d'avance.

[gg0]

vect{(1,0,0)} + vect{(0,1,1)} ={(x,y,y)/ x et y réels}={(x,y,z)/y=z}

Cordialement.

[bobkit]

Merci bien, donc 0_R³ Є F⋂G est vérifié ?

[gg0]

Heu ...

les multiples de (1,0,0) sont tous de la forme (k,0,0), donc pas dans vect((0,1,1)) sauf pour le vecteur nul.

[bobkit]

Désolé, mais je ne suis pas sûr d'avoir saisi votre explication.

[gg0]

J'avais mal interprété tes explications :

Ce qu'on peut aussi voir en disant que F=vect{(1,0,0)} et G=vect{(0,1,1)} sont supplémentaires dans R³ ssi 0_R³ Є F⋂G et dim(F) + dim(G) = dim(R³)

la condition "0_R³ Є F⋂G" me paraît absurde : Soit F et G sont des SEV et elle est évidente, soit il n'en sont pas, et il est aberrant de parler de supplémentaires.

Tu a manifestement confondu avec F⋂G = {0_R³}, ce qui est tout différent, puisque 0_R³ est toujours dans l'intersection, donc on dit que l'intersection ne contient rien d'autre. C'est ce que je traitais dans ma réponse.

Donc tout ton passage
"concernant 0_R³ Є F⋂G, je ne suis pas sûr de la démarche à adoptée pour répondre ...
j'ai fait :
E=F⋂G=vect{(1,0,0),(0,1,1)}
v(x,y,z) Є E ⇔ v=x(1,0,0) + y(0,1,1) ⇔ v=(x,y,y) ⇔ z=y ⇔ z-y=0 ⇔ E={(x,y,z)ЄR³ | z-y=0}
0_R³ = (0,0,0) ; 0-0=0 donc 0_R³ Є F⋂G mais je pense me tromper "

est sans intérêt.

Cordialement.