Exercice de logique

[invite493c85ea]

Retrouver l'erreur:
Considérons dans C l'équation :
x^2 = x − 1..... (1)
Puisque la valeur nulle ne vérifie pas cette équation,divisons par x membre à membre. Après réarrangement des termes, nous obtenons:
−1/x = x − 1.... (2)
En regroupant les égalités (1) et (2), nous en déduisons:
x2 = −1/x ..... (3)
Finalement, puisque x est non nul, nous multiplions par x l'égalité (3) pour obtenir l'équation:
x3 = −1..... (4), dont −1 est de toute évidence une solution. Injectons cette solution dans l'égalité (1). Nous obtenons au final que 1 = −2.

Ma suggestion:
Au fait, je pense qu'on a pas le droit de remplacer (-1) dans l'équation donnée, car (-1) appartient à R, or si l'on calcule le discriminent de X^2-x+1=0, on le trouve négatif, donc, les solutions de celle ci sont dans C/R, par suite, (-1) n'en est pas une.
Quelqu'un peut il m'aider?
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[PlaneteF]

Bonsoir,

L'erreur (classique) c'est de considérer qu'il n'y a que des équivalences entre les lignes du calcul, ce qui est faux ... Je te laisse voir où exactement se situe le schmil.

Ma suggestion:
Au fait, je pense qu'on a pas le droit de remplacer (-1) dans l'équation donnée, car (-1) appartient à R, or si l'on calcule le discriminent de X^2-x+1=0, on le trouve négatif, donc, les solutions de celle ci sont dans C/R, par suite, (-1) n'en est pas une.

Le problème n'est pas de remplacer -1 dans l'équation, c'est plutôt les déductions fausses que l'on peut en tirer !


Cordialement

[invite51d17075]

Considérons dans C l'équation :
x^2 = x − 1..... (1)
Puisque la valeur nulle ne vérifie pas cette équation,divisons par x membre à membre. Après réarrangement des termes, nous obtenons:
−1/x = x − 1.... (2)
En regroupant les égalités (1) et (2), nous en déduisons:
x2 = −1/x ..... (3)

c'est là le point :
eq(1) et eq(2) => eq(3) ( si 1) et 2) sont verifiés alors 3) l'est : implication
mais la réciproque n'est pas vrai.
3) n'implique aucunement 1) par exemple.

dit autrement ,( par l'absurde en qcq sorte ) la résolution t'amène par implication à x=-1 dans R, ce qui est impossible vu la condition 1), donc il n'y a pas de solution dans R.

[invited3a27037]

Bonjour,

On te l'a dit, tu as fais un raisonnement par implication et non par équivalence.

Le raisonnement par implication donne un ensemble de solution plus gros que le vrai ensemble solution, c'est à dire que les bonnes solutions y sont toutes mais il peut y en a d'autres. C'est pour ça qu'il faut vérifier les solutions obtenues par un raisonnement par implication.

Etant donné que -1 n'est pas solution de l'équation de départ, tu es sure qu'il n'y a pas d'autres solution. Le discriminant de x^2-x+1=0 est donc négatif, il n'est pas nécessaire de le calculer

je prends un exemple. si tu démontres que:

(1)

il faut vérifier 0, 1, 2, 5, et on rejette 0 et 5 pour ne garder que 1 et 2

et il n'y a pas d'autres solution car la contraposée de (1) est:

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Etant donné que -1 n'est pas solution de l'équation de départ, tu es sure qu'il n'y a pas d'autres solution.

Bonjour,

Juste une petite remarque pour "recoller" à l'énoncé, il s'agit d'une équation dans .


Cordialement

[invite51d17075]

bonjour,
je n'avais pas vu.
x^3=-1 a bien entendu des solutions dans C qui satisfont l'eq 1)

[marcoff]

Bonjour,

Je rajouterai que x^3=-1 admet trois solutions: (1+i.sqr(3))/2, (1-i.sqr(3))/2, et -1. (i²=-1 et sqr = racine carrée)
Les deux premières vérifient l'équation de départ.