Dérivée - Physique (Vitesse, Déplacement)

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir

Ma question a un aspect physique, mais la résolution est mathématique, donc je me permets de poster ici.

Je sépare mon problème en quatre questions :

Note : Soit une fonction réelle qui décrit la position en mètres d'un objet en un instant , donné en secondes.

1) Explique pourquoi donne la vitesse instantanée au moment .

2) Explique la signification des valeurs et .

3) Calculer la limite lorsque tend vers 0 (Expliquer ce résultat)

4) Explique pourquoi donne l'accélération instantanée au moment .

Mes réponses :

1) Je calcule qui vaut la limite de quand tend vers . Mais après, comment peut-on arriver à une vitesse? Selon moi, exprime la distance parcourue entre l'instant et . Mais l'on divise par l'écart des deux instants.
Je vois que je ne suis pas si loin que ça de la réponse, car quand je réfléchis à une vitesse usuelle, on utilise les , soit de la distance divisée par du temps. Mais je n'arrive pas à passer de " exprime la distance parcourue entre l'instant et et l'on divise par l'écart des deux instants", à "la limite de quand tend vers qui vaut donne la vitesse.

2)
• Pour moi, est la position au temps (t plus une minute) et la position au temps (t), donc donne la distance parcourue en une minute.
On divise par 60, donc je pense que c'est la distance moyenne parcourue en une seconde. (En fait... serait-ce une approximation de la vitesse en ?)

• Pareillement, est la distance parcourue en une seconde, donc comme on divise par 1, ben... On trouve euh... la distance parcourue en une seconde ! (Et ça aussi, c'est une approximation plus précise de la vitesse, si mon intuition est bonne...)

3) Pour cette limite, je trouve en suivant le 2) la distance moyenne parcourue en 1 seconde sur un temps allant jusqu'à l'infiniment petit. (Et donc, ça, c'est la vrai valeur de la vitesse en , non? Le seul truc, c'est que ça ne colle pas vraiment avec la définition de la dérivée en 1), donc comment faire le rapprochement entre les deux?)

4) En reprenant la définition de la dérivée, j'ai vaut la limite de quand vers . (Et si vous me le permettez, Seirios , j'écris par simplicité ).

Et cette fois, je me retrouve avec une différence de deux vitesses, divisée par l'écart des deux instants.

Et pour arriver à une accélération, à nouveau, je peine...

Merci de toutes vos réponses

Cordialement
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[Médiat]

Bonjour,

1)

Mais je n'arrive pas à passer de " exprime la distance parcourue entre l'instant et et l'on divise par l'écart des deux instants", à "la limite de quand tend vers qui vaut donne la vitesse.

La vitesse d'un déplacement c'est bien la distance parcourue divisée par le temps mis pour la parcourir, si vous faites Lille Marseille en voiture, vous pouvez calculer la vitesse du parcours en divisant la distance totale par le temps total, mais vous comprenez bien que votre vitesse n'est pas constante pendant tout le parcours, c'est la différence entre vitesse moyenne, et vitesse instantanée. Pour définir la vitesse instantanée, un moyen simple est de dire que c'est la vitesse moyenne pendant un temps extrêmement court, à la limite pendant un temps qui tend vers 0 ... et vous obtenez la définition de la dérivée.

2)Vous avez à peu près raison, sauf le mot approximation qui me semble un peu abusif (surtout dans le cas d'une minute, n'importe quelle voiture pouvant passer de 0 à 130 km/h en moins d'une minute), c'est juste la moyenne.

3) C'est la vitesse moyenne en "a" seconde(s), pas en 1 seconde.

4) Même principe que le 1)

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Bonjour,

1)
La vitesse d'un déplacement c'est bien la distance parcourue divisée par le temps mis pour la parcourir, si vous faites Lille Marseille en voiture, vous pouvez calculer la vitesse du parcours en divisant la distance totale par le temps total, mais vous comprenez bien que votre vitesse n'est pas constante pendant tout le parcours, c'est la différence entre vitesse moyenne, et vitesse instantanée. Pour définir la vitesse instantanée, un moyen simple est de dire que c'est la vitesse moyenne pendant un temps extrêmement court, à la limite pendant un temps qui tend vers 0 ... et vous obtenez la définition de la dérivée.

2)Vous avez à peu près raison, sauf le mot approximation qui me semble un peu abusif (surtout dans le cas d'une minute, n'importe quelle voiture pouvant passer de 0 à 130 km/h en moins d'une minute), c'est juste la moyenne.

3) C'est la vitesse moyenne en "a" seconde(s), pas en 1 seconde.

4) Même principe que le 1)

Merci beaucoup

Vos réponses correspondent parfaitement à mes questions!

Une dernière petite chose, est-il plus judicieux d'expliquer l'accélération instantanée comme v'(t), ou comme x''(t) (c'est-à-dire comme la différence de deux vitesses divisée par le temps, ou comme la distance divisée par du temps moins la distance divisée par du temps, tout cela divisée par du temps) ?

Cordialement

[Médiat]

Une dernière petite chose, est-il plus judicieux d'expliquer l'accélération instantanée comme v'(t), ou comme x''(t)

Mathématiquement, cela n'a aucune importance, intuitivement, et à titre personnel, je comprends mieux l'accélération comme une mesure de la variation de la vitesse, donc comme v'(t).

[A voir en vidéo sur Futura]

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D'accord

Merci encore!