DM de Maths compliqué

[leo11]

Salut à tous, j'ai un DM de maths à rendre, et quelques petites choses me chiffonnent...
Voici le DM :

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Soit définie et

1)Etudier et tracer P, la courbe représentative de f.

2)a)Calculer f(1) et f(n).
b), montrer que .

3)a)Montrer que
b)En déduire que

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Bon, 1) pas de pb, on dérive, tableaux de signe et tout le tralala. J'ai aussi, pour bien justifier le tracé, montré que f(x) est symétrique par rapport à la droite d'équation . Je trouve la fonction , avec .

La 2)a) est triviale.
Pour la 2)b), f est un polynôme, donc f est continue, et, d'après le tableau de signes en 1), f est strictement décroissante sur . Donc, et .
Donc, on obtient l'encadrement .

On en arrive donc à la 3)a). Donc, je pense avoir réussi à résoudre cette question de manière rigoureuse, mais c'est vraiment lourd. Voici comment j'ai procédé:
Tout d'abord je pose . Puis, par le biais de , je prouve que .
Puis, je distingue deux cas (excusez-moi si vous ne comprenez pas comment je passe d'une expression à une autre, mais il aurait été trop long de tout expliquer. Vérifiez, si vous pensez que quelque chose est faux, mais je me suis relu, et je ne pense donc pas m'être trompé... même si c'est tout à fait possible ):

• Pour n pair, étant donné que , on a . Puis, j'écris le produit sous forme "développée": . Puis, comme , on a . Ce qui est donc égal à . On élève V au carré et on a démontré ce que l'on voulait pour n pair.
• On procède de la même manière pour n impair, à la seule différence que .

On a donc démontré pour tout n pair et impair. Donc, nous l'avons démontré pour tout n appartenant à N.

Même si mon raisonnement est très lourd, je trouve qu'il a au moins le mérite de "montrer avec les tripes" pourquoi V=n!.
Donc je voulais savoir, si mon raisonnement était rigoureux ? Et s'il ne l'était pas assez, auriez-vous des pistes ?
J'ai aussi pensé à le faire par récurrence, mais ça n'a pas marché... (Après, j'ai peut-être fait une erreur).

Voilà, et je ne me suis pas encore penché sur la 3)b), donc je n'ai pas de questions dessus.

Merci de me répondre. Cordialement.

Léo.
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[gg0]

Bonsoir.

Je soupçonne que ton raisonnement est meilleur que ce que tu as écrit ici, car il y a quelques maladresses :$*
" je pose " !!! Tu poses la conclusion ? Ben si c'est "posé" que reste-til à démontrer. Si je comprends bien tu appelles V le produit, et tu démontres ensuite que ça vaut (n!)².
"On élève V au carré" ?? Non, ce n'est pas V qu'on élève au carré !

Cordialement.

[leo11]

Et une dernière question :
Est-ce que la "suite" utilisée dans mon produit pour n impair par exemple, , nécessite d'être trouvée de manière rigoureuse, ou c'est bon de la sortir comme ça ?
Parce que j'ai vraiment passé du temps pour la trouver. J'ai tatonné. Mais je ne pense pas réussir à le démontrer rigoureusement.

Merci.

Edit: croisement

[leo11]

Oups, oui, désolé. Avec toutes ces expressions en Latex, je me suis embrouillé.
Non, en fait j'ai posé tout court. Pas V=n!. C'est de ma faute.

Oui, on élève au carré.

Edit: enfin, c'est vrai que le verbe "poser" n'est pas vraiment adéquat. On pourrait dire que j'ai "renommer" , par souci de clarté.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Et une dernière question :
Est-ce que la "suite" utilisée dans mon produit pour n impair par exemple, , nécessite d'être trouvée de manière rigoureuse, ou c'est bon de la sortir comme ça ?
...

Comme c'est f(1)f(2)f(3)...f((n-1)/2), écrit à l'envers, tu t'es probablement compliqué la vie. Pourquoi ne pas faire simple ?
Mais je n'ai pas le détail des calculs ...

[leo11]

Ah oui, ce n'est pas faux. J'aurais simplement pu écrire , c'est ça ?

[leo11]

Svp ? Personne pour valider mon raisonnement ?

[gg0]

Quel raisonnement ?
Ton écriture du message 6 est celle que j'ai écrite autrement, tu peux le voir tout seul ! Et tu n'as pas écrit le détail de ta preuve pour n impair...

[leo11]

Ben si, pour n impair, le raisonnement est similaire, à l'unique différence que le produit ne possède pas la même borne supérieure. On le voit bien si l'on écrit (n!)^2 tel que n = 2k+1: on a (n!)^2=f(1) x f(2) x f(3) x ... x f(n-2) x f(n-1) x f(n) donc, on en déduit que (n!)^2= f(1)^2 x f(2)^2 x f(3)^2 x ... x f((n-1)/2)^2 x f(n/2)^2 x f((n+1)/2), car f((n+1)/2) est le seul terme qui n'a pas de "symétrique". Mais je n'ai malheureusement pas réussi à trouver de raisonnement rigoureux pour démontrer ceci...

[gg0]

En général,

quand on n'a pas d'idée de preuve directe, on fait une preuve par récurrence; puisque la formule dépend d'un entier n variable.

Cordialement.