Qui suis-je ?

[invite51d17075]

on doit pouvoir montrer facilement :
-qu'avec un seul nb premier , impossible
-qu'avec n=pq , impossible, idem pour pqr ( avec les combinatoires à puissances 1 que j'avais pris initialement, ou en utilisant la formule de mediat )
donc ensuite classer dans l'ordre croissant les
p^k*q^k' et le nombre est reduit
2^2*3 =12
2*3^2 = 18
2^2*5 =20
2^3*3 =24
en utilisant la formule de mediat, on verifie immédiatement si ça marche ( sans prendre tous les chiffre de 2 à 24 )
bon, c'est un peu bourrin.
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[inviteb523c241]

Ha oui, même si c'est bourrin ça me semble pas mal

Je recap pour voir si j'ai bien saisi :
Premièrement soit a=p^n alors a^3=p^3n
Or (d'après le formule) on a n+1 diviseurs pour a et 3n+1 diviseurs pour a^3
Donc impossible d'en avoir 5 fois plus

Dans un deuxième temps soit a=pq etc
Or (d'après la formule) on a 2^n diviseurs pour a et donc 2^3n diviseurs pour a^3
Donc impossible d'en avoir 5 fois plus

Bon à partir de la, c'est un peu bourrin de dire que notre nombre va s'écrire sous la forme p^k*q^k'...
Qu'est ce qui nous dis que ce serait pas p^k*q^k'*r^k'' ? Y a un moyen de le justifier ?
2^2*3 =12
Donc on a 6 diviseurs pour a et 24 pour a^3 --> Non
2*3^2 = 18
Donc on a 6 diviseurs pour a et 24 pour a^3 --> Non
2^2*5 =20
Donc on a 6 diviseurs pour a et 24 pour a^3 --> Non
2^3*3 =24
Donc on a 8 diviseurs pour a et 40 pour a^3 --> Oui !

Maintenant pour la question 2
Est ce que je peux généraliser en disant que donc tout nombre s'écrivant sous la forme a=p^3*q alors a^3 aura cinq fois plus de diviseurs ?
Et y a t-il d'autres solutions avec un nombre a se décomposant avec plus de 2 chiffres premiers ?

En tout cas merci beaucoup !

[invite51d17075]

je pars simplement des nombres les plus petits possibles.

[inviteb523c241]

Oki merci

Et pour ça, c'est juste :

Maintenant pour la question 2
Est ce que je peux généraliser en disant que donc tout nombre s'écrivant sous la forme a=p^3*q alors a^3 aura cinq fois plus de diviseurs ?
Et y a t-il d'autres solutions avec un nombre a se décomposant avec plus de 2 chiffres premiers ?

[invite51d17075]

en tout cas, tous les p^3*q sont solutions en prenant la formule hyper efficace de Mediat
5*(3+1)*(1+1)=(9+1)(3+1)=40.

heuu ! après il faudrait faire des simulation avec 3 premiers et voir s'il y a un embryon de recurrence, ou une impossibilité

ps: à verifer s'il n'y a pas d'autres solution à 2 premiers quand même..

[invite51d17075]

intuitivement, j'ai l'impression que ce sont les seules.
en augmentant les puissance ou en rajoutant un premier les diviseurs de a^3 semblent naturellement supérieurs à 5*ceux de a , par recurrence peut être.

[Médiat]

une impossibilité

Avec 3 premiers ou plus : impossible ; indice : 3k+1 > 2k + 2 (pour k>1)

[inviteb523c241]

J'ai trouvé !
Effectivement je suis reparti sur la formule de départ.

En utilisant cette formule, j'ai dis que 5 divise forcément (3alphai+1) pour en avoir au moins 5 fois plus !

On tombe directement sur la solution : 2^3*3
Et donc oui, tous les nombres de la forme a=p^3*q sont solutions !

Il n y a pas besoin de justifier pour les plus grands nombres car on a déjà une infinité de solutions (en supposant bien sur qu'il y a une infinité de nombres premiers )

Merci beaucoup !!!

[inviteb523c241]

Effectivement si on utilise plus de 3 premiers (avec toujours un terme au cube) on se retrouve avec plus de 5 fois les nombres de diviseurs (toujours un multiple de 5 mais pas exactement 5)

[invite51d17075]

Il n y a pas besoin de justifier pour les plus grands nombres car on a déjà une infinité de solutions (en supposant bien sur qu'il y a une infinité de nombres premiers )

tu peux finaliser en montrant simplement que pour 2 premiers, si les puissance sont supérieures à 3 et/ou à 1, alors c'est impossible.
donc les solutions sont les seules
dire qu'elles sont infinies n'est pas une réponse totalement complete.

[inviteb523c241]

Merci beaucoup !