Qui suis-je ?

[inviteb523c241]

Bonjour,
Je suis actuellement en terminale SSI et je bloque sur un exercice de spé que j'ai eu lors d'un DS...

Voici l'énoncé :
1. Je suis un nombre entier positif non nul. Je suis le plus petit diviseur tel que le nombre de diviseurs de mon cube soit cinq fois plus grand que mon nombre de diviseurs. Qui suis-je ?
2. Dans ma famille, ils ont le même caractère génétique que moi. Combien sommes-nous ?

Pour la première question j'ai dis :
Le produit des (alpha i +1) de a^3 = 5*le produit des (alpha i +1) de a.
Ne sachant trop comment exploiter cette écriture j'ai donc regardé à partir de 1 si je trouvais un nombre au cube qui répondrait à ces critères (sachant que pendant le DS nous n'avions pas de calculette)
Je suis allé jusqu'à 14 et après j'ai abandonné.
Auriez-vous un autre chemin à me conseiller ou une exploitation possible de la formule ?

N'ayant pas répondu à la première je doute pouvoir encore répondre à la seconde mais j'ai préféré vous la mettre. Si ca peut vous aider

Merci par avance
Cordialement
Benji1996
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[invite51d17075]

Voici l'énoncé :
1. Je suis un nombre entier positif non nul. Je suis le plus petit diviseur tel que le nombre de diviseurs de mon cube soit cinq fois plus grand que mon nombre de diviseurs. Qui suis-je ?

bonjour , incompréhensible !
-Je suis un nombre entier positif non nul. Je suis le plus petit diviseur ......diviseur de quoi ? ou alors , je suis le plus petit nombre ?
-le nombre de diviseurs de mon cube .....diviseurs premiers et différents ou autre chose ?
etc

je ne comprend pas le sens de la deuxième question.

[inviteb523c241]

C'est l’énoncé exact que j'ai...

Je vous donne ma traduction :
Soit un nombre a.
a sera le plus petit diviseur de a^3
a^3 possède cinq fois plus de diviseurs que a.
Voilà comment j'ai compris l’énoncé.

Pour la seconde question :
Je suppose que je dois trouver combien de nombres ont les mêmes caractéristiques que le nombre a (que je dois trouver avant)

Je n'ai pas plus d'information que ca :/

[invite51d17075]

mais que signifie le mot diviseur : diviseur premier je suppose sinon on peut les comptabiliser de différentes manière
et par exemple
2*2*3*3*3*7 a combien de diviseur selon l'énoncé ? 3 ou 6
je suppose qu'il faut considérer 6 sinon il n'y a pas de solution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

ou encore toutes les combinaisons possibles ?

[inviteb523c241]

Dans votre nombre je compte 24 diviseurs...

C'est bien le nombre de diviseurs en tout. On les a avec cette formule.
Soit a=Produit des premiers^alpha
Le nombre de diviseurs de a sera
Le produit des (alpha+1)

Votre nombre :
a= 2²*3^3*7
Il aura donc 3*4*2=24 diviseurs

Autre exemple
12=2^2*3
Il aura donc 3*2=6 diviseurs qui sont : 1;2;3;4;6;12

[inviteb523c241]

Ha pardon j'avais pas vu votre deuxième message.
C'est donc bien tous les diviseurs oui.

[invite51d17075]

il y a un truc qui turlupine.
déjà, je suppose qu'on exclus 1 des diviseurs possibles sinon le plus petit diviseur de a^3 serait 1.
ensuite, on voit une solution en comptant l'ensemble des combinaisons de diviseur
exemple
6=2*3 et a 3 diviseurs 2,3 et 6
6^3=36=2*2*3*3
l'ensemble des combinaisons amène sigma(C(4,k);k de 1à4) =15 qui est bien égal à 5*3
mais cela suppose que l'énoncé dise que a est le plus petit nombre ( pas plus petit diviseur de a^3 )
donc mon interprétation est peut être erronée

[inviteb523c241]

Mea Culpa
J'ai mal interprété c'est pas le plus petit diviseur mais le plus petit nombre qui réponde à ces critères :/
Désolé

PS : heu 6^3 =/= 36 je crois

[invite51d17075]

oui, oui, mais j'ai voulu voir le type d'approche avec a^2, pour sentir une direction possible.
j'ai voulu corriger avec cette précision , mais pas eu le temps, désolé.
je pense qu'on a une bonne interprétation de l'énoncé maintenant.
-plus petit nombre
-ensemble total des diviseurs.
c'est déjà ça
cela veut dire que le sigma(C(N;k)) de a^3 est multiple de 5 ( N étant le nb de diviseurs premiers de a^3, un nb premier apparaissant plusieurs fois est compté x fois )

[invitee2e43d3e]

Tu es démasqué voisin !!

[inviteb523c241]

je suis d'accord mais ca laisse un paquet de solutions quand même^^"
Et des grands nombres surtout ce qui facilite pas le travail dessus :/

@Clavs : Mdr tu viens à l'aide toi aussi xD

[invitee2e43d3e]

ouai mais hélas je n'ais point la réponse...

[inviteb523c241]

J'espère qu'ils pourront nous aider mais si jamais t'as une idée, fait partager, on sait jamais

[invitee2e43d3e]

je suis persuadé que 18 est la solution. Je n’ai pas la démonstration exacte, mais
j’ai exclu une si grande quantité de diviseurs par des démonstrations infaillibles, et j’ai de si
grandes lumières qui établissent ma pensée, que j’aurais peine à me dédire !

[invite51d17075]

tu es sur que c'est a^3, parceque effectivement
le nb combinaisons possibles s'écrivent en 2^n-1
celles multiples de 5 en 2^(4n)-1
il faut que ce nb ( la division ) soit lui même une combinaison en 2^m-1
avec m multiple de 3 je suppose

[invitee2e43d3e]

nan sérieux, j'ai zéro idée...

[invite51d17075]

pardon c'est 4n qui doit etre multiple de 3.

[Médiat]

Bonsoir,

Avez-vous essayé d'écrire :
et de voir ce que cela donne pour n=1, 2 et 3 ?

[invitee2e43d3e]

24 est une solution !! reste plus qu'a essayer tous les entiers entre 1 et 23 pour voir si il y en a un qui est inférieur et solution !

[invitee2e43d3e]

24 est bien le nombre recherché par contre pour la justification c'est pas encore ça

[inviteb523c241]

J'avais pas lu des messages, j'edit dans 5min

[inviteb523c241]

@Médiat : J'étais parti sur ca mais je ne vois pas comment l'utiliser car mon alpha peut vraiment être n'importe quoi :/

Je confirme que 24 est solutions
Avec 8 diviseurs et 24^3 40 diviseurs

Mais pour le prouver...
Et ensuite faut trouver le nombre de nombre qui correspondent à ce critère...

[invite51d17075]

je viens de réaliser que mon calcul du nb de diviseurs est erroné si un premier apparait plusieurs fois.
calculs à oublier.
désolé.
cordialement

[inviteb523c241]

Pas de soucis !

Si jamais quelqu'un a une idée, n'hésitez pas à partager, on sait jamais, ça peut peut être aider

[invite51d17075]

je vais essayer de reprendre un calcul propre des combinaisons avec
a=p^k*q^k'....
et donc a^3=p^(3k)q(3k')...
( j'avait pris bêtement l'hypothèse de décomposition initiale en chiffres différents, or s'ils sont double ou triple par exemple, c'est different.)
ppqqq a beaucoup moins de diviseurs que pgrstu !

ps: j'interprète mal l'ecriture de Mediat , malheureusement, car je suis sur qu'elle mène à la solution.

[Médiat]

Bonjour,

J'ai repris les notations du premier message :

Si un nombre entier naturel s'écrit où est le i^ème nombre premier, alors le nombre de ses diviseurs est (combinatoire basique).

[inviteb523c241]

a=p^k*q^k'....
et donc a^3=p^(3k)q(3k')...

J'étais parti sur ca mais j'ai l'impression que ça mène nul part...

Avec la formule de Médiat, on a trop de valeurs inconnus je pense...

[Médiat]

Avez-vous essayé avec n=1, n=2, et n=3 ? (mais ce n'est pas immédiat)

[invite51d17075]

OK Mediat, je n'avais pas saisi que les (alpha)i étaient les puissances des premiers.