Probabilité Bac Inde, avril 2012

[avatism]

Pourriez vous me corriger un exo de type BAC svp:

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.

Question: À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.

Le problème, c'est que je trouve le résultat à travers plusieurs calculs et les correction n'en proposent qu'un. J'aimerais savoir si mes calculs étaient justes ou pas:
Celui proposé par la correction:
(4 parmi 49)/(5 parmi 50)
Ce que j'ai essayé:
-->nb de cyclistes subissant le controle/ nb de cyclistes total= 5/50=0.1
-->(1 parmi 5)/(1 parmi 50)

Merci d'avance pour votre aide!
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[gg0]

Je préfère largement ta première méthode, intuitivement évidente, au calcul baroque de ton corrigé (qui peut s'expliquer aussi, mais quelle complication !). La deuxième méthode n'est qu'une réécriture, ou alors procède d'une idée qu'il faudrait que tu expliques; en effet, 1 parmi n est une façon bien compliquée d'écrire n.
Peux-tu justifier tes calculs par l'application des méthodes du cours ?

Cordialement.

[avatism]

Alors il faudrait que j'écrive avant, le cycliste tiré au sort parmi les 50 doit appartenir au groupe de 5? Parce que à part ça je ne vois pas comment je pourrai démontrer 1 parmi 5...

[gg0]

A priori, tu as eu un cours.
Il te suffit de trouver un univers d'événements muni de l'équiprobabilité. Ce qui n'est malheureusement pas très évident pour ta méthode très intuitive. Elle se mathématise ainsi : les événement "être choisi en premier", "être choisi en deuxième", ..."être choisi en cinquième" sont incompatibles et on la même probabilité (c'est ça qui n'est pas très facile à démontrer) 1/50, donc la probabilité cherchée est 1/50+1/50+..+1/50=1/10.
Une autre façon de voir est de remplacer le choix de 5 parmi les 50 par une expérience qui donne le même résultat : On répartit les 50 coureurs au hasard sur 50 places, de 1 à 50. On teste les places de 1 à 5. dans ce cas, l'univers des possible est constitué des 50 numéros que pourra avoir le coureur dont on parle, équiprobables, et il y a 5 cas "favorables" sur 50 possibles.
En fait, dans ce type de situation, on fait ce calcul sans bien y penser (5 cas sur 50).

Maintenant, il serait utile que tu comprennes le pourquoi du calcul de ton corrigé.

Je n'ai pas compris pourquoi tu parles de 1 parmi 5 (qui est simplement 5), ce qui m'intéresse c'est justement que tu saches pourquoi tu dis ça.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]