En situation--> suites

[Deepika R.]

Bonjour,,
je reviens avec un nouveau problème sur les suites


" On dispose au sol des tuyaux cylindriques identiques. Puis on empile une rangée supplémentaire en posant chaque tuyau sur deux tuyaux du niveau inférieur.

1. Combien de tuyaux peut-on empiler, si l'on continue le procédé aussi longtemps que possible à partir de 3 tuyaux posés au sol ?
2. Si un " empilement" de ce type contient 153 tuyaux, quel est le nombre de tuyaux posés au sol ? "
J'ai fait la 1ère question:
On a Un=U0*q^n
U1=3*1 Donc il y aura 3 tuyaux
Pour la 2ème question,ça se complique,je n'ai pas compris comment faire.
Un=U0*q^n
Un=153*q^n
J'ai essayé de traduire les 'données' de l'énoncé:
Un=nombre de tuyaux posés sur le sol
U0=nombre de tuyaux total
q=raison ^n


Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

"J'ai fait la 1ère question:
On a Un=U0*q^n" ??
De quoi parles-tu ? L'énoncé parle de tuyaux, tu écris une formule mathématique !!!
Avec un dessin (*), on voit tout de suite ce qui se passe. Si tu as une boite de crayons, tu peux facilement représenter les tuyaux par des crayons pour comprendre de quoi ta parle l'énoncé.
Mais de grâce, évite de choisir au hasard une formule mathématique en réponse à une question.

Cordialement.

(*) en coupe, ça donne des cercles.

[gg0]

Lari,

tu es sûr que tes longues explications ont servi ?

Très cordialement.

[S321]

Bonjour,

J'ai fait la 1ère question:
On a Un=U0*q^n
U1=3*1 Donc il y aura 3 tuyaux

La première ligne de votre démonstration pose problème. Vous ne définissez ni ce qu'est U, ni ce qu'est n ni ce qu'est q. On ne sait pas ce dont vous parlez et ce que représente ces lettres et même si c'était le cas le fait que "vous ayez" une formule demande une justification.
Vous semblez vouloir dire que (u_n) est une suite géométrique de raison q, c'est peut-être le cas (je ne sais pas ce que vous voulez représenter par u, vous ne le dites pas) mais je ne pense pas que ça puisse se passer de justification.

Ensuite votre conclusion me laisse un peu pantois. Vous concluez qu'il y a 3 tuyaux. Vous avez placé 3 tuyaux au sol, empilé des tuyaux par dessus et au final vous n'avez toujours que 3 tuyaux ? Ça me semble un peu douteux cette histoire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deepika R.]

Bonjour,
j'ai du mal à m'exprimer,dans la question ,on me demande combien de tuyaux on peut placer au dessus des trois tuyaux ?

[Deepika R.]

Je me suis trompée c'est une suite arithmétique car à chaque fois on enlève un tuyau.
En effet au départ on a trois tuyaux,on en enlève 1,il en reste deux et à la fin il en reste 1.
Donc on peut empiler 3 tuyaux

[S321]

Je me suis trompée c'est une suite arithmétique ...

Définissez clairement ce dont vous parler. Qu'est-ce qui est une suite arithmétique ?

on me demande combien de tuyaux on peut placer au dessus des trois tuyaux ?

Encore une fois il s'agit de savoir de quoi on parle. Lisez donc précisément votre question. Moi je lis : "Combien de tuyaux peut-on empiler ?", les tuyaux à la base d'une pile font-ils partie de la pile ?

[Deepika R.]

Une suite arithmétique lorsqu'on chaque terme est obtenu en ajoutant au précédent le même nombre.
Mais ici la raison est -1 puisque qu'on retire un tuyau fur à mesure.
En fait,j'ai oublié de compter les tuyaux de la base,cela fait donc 6 tuyaux.

[S321]

Je ne vous demandais pas ce qu'est une suite arithmétique. Encore une fois vous ne lisez pas les choses précisément.

Reprenons la question d'un point de vu purement grammaticale. On vous demande "Combien de tuyaux peut-on empiler ?" et la première phrase de votre réponse est "C'est une suite arithmétique". Or lorsque vous écrivez ça, grammaticalement vous êtes en train d'affirmer que le nombre de tuyaux qu'on peut empiler est une suite arithmétique.
Maintenant en repassant aux maths, le nombre de tuyaux qu'on peut empiler n'est pas une suite, c'est un nombre.

Vous ne dites jamais ce à quoi fait référence ce c apostrophe et ne dites jamais ce qu'est censé représenter cette suite arithmétique. Vous ne pouvez pas commencer une démonstration en disant "J'ai une suite arithmétique" si vous ne précisez pas à quoi elle correspond.

[Deepika R.]

Oui c'est vrai il n'y a pas de suite arithméthique,j'ai confondu.
On peut empiler 6 tuyaux car 3+2+1=6
Je ne vois pas sinon comment justifer...

[Lari]

Je ne saurais pas trop qualifier ça grammaticalement, mais pédagogiquement et humainement, j'aurais une idée...

(ps : si si, magnolia77. Il y a bien une suite arithmétique. tu avais bien vu)

[S321]

Le problème c'est que dire "car 3+2+1=6" n'est pas du tout une justification, c'est une égalité. Pour que ce soit une justification de quoi que ce soit il faut que vous disiez de quoi vous voulez parler. Dire 3+2+1=6 n'a aucun intérêt si vous ne dites pas pourquoi vous le dites. A quoi correspond 3, 2, 1 et 6 dans cette égalité par rapport à votre problème ? 3 c'est le censé être le nombre de tuyaux au premier étage, 2 le nombre de tuyaux au deuxième étage et 1 le nombre de tuyaux au troisième étage.
Lorsque vous utilisez un concept mathématiques pour représenter une élément de votre problème il faut que vous disiez quel élément il représente.

Utiliser une suite était une très bonne idée, mais il vous faut faire le lien entre ce concept de suite que vous utilisez et les nombre de tuyaux dans le problème. Je vous rédige le tout début de la démonstration :
"Soit (u_n) la suite telle que pour un entier n, u_n est le nombre .... (finissez la phrase)"

Une fois que vous saurez précisément ce dont vous parlez et ce que représente cette suite (u_n) ça devrait être beaucoup plus évident si elle est arithmétique, géométrique ou rien du tout.

[Lari]

Définissez clairement ce dont vous parler. Qu'est-ce qui est une suite arithmétique ?

En l'occurence, c'est assez clair, je pense. Et comme c'était bien trouvé, je ne vois pas la nécessité de chercher la petit bête.

Lari,
tu es sûr que tes longues explications ont servi ?

Déjà, quand on est à l'aise, comprendre du premier coup n'est pas toujours facile, donc... En plus mes explications sont longues car j'espère qu'elles ne servent pas qu'à magnolia77 !

Je me suis trompée c'est une suite arithmétique car à chaque fois on enlève un tuyau.
En effet au départ on a trois tuyaux,on en enlève 1,il en reste deux et à la fin il en reste 1.
Donc on peut empiler 3 tuyaux

Exact pour la suite arithmétique. On peut le formuler plus précisément : à chaque niveau on place un tuyau de moins.

Bien suivre les étapes du raisonnement : NE PAS ALLER TROP VITE, et bien poser les choses :
Analysons bien les données en jeu. Qu'a-t-on ?

Le nombre total de tuyaux t
Le nombre de rangées n
Le nombre de tuyaux dans la rangée inférieure, la première. Je l'appelle U1 (je ne l'appelle pas U0, ce sera plus simple ainsi)

1) Puisque le nombre de tuyaux de chaque rangée dépend du nombre de tuyaux de la rangée inférieure, les nombres constituent une SUITE
2) puisque le nombre de tuyaux de la rangée suivante est le nombre de tuyaux de la rangée précédente - 1, ils constituent une suite ARITHMETIQUE,
de raison -1

Dans un premier temps, on demande le nombre total de tuyau si on part de 3 tuyaux au sol. C'est histoire de bien comprendre la situation et de la manipuler avant de trouver les formules générales.

3 tuyaux, + 2 par dessus, + 1 dernier encore au dessus. Ne pas oublier les 3 premiers et ça fait 6 au total. On remarque qu'on s'ARRETE quand on arrive à 1. Partiquement, c'est évident, mais mathématiquement, rien ne l'oblige donc ce fait est une donnée IMPORTANTE de la situation.

Ensuite, on passe sans intermédiaire à une question beaucoup plus embêtante, car la solution n'est pas directe. On voit bien qu'avec la suite, on pourrait calculer le nombre total de tuyau partant de la première rangée, mais, il faut faire l'inverse. Trouver la taille de la première rangée connaissant le nombre total.

Pas d'affolement. Comme d'habitude, ne pas chercher à s'approcher de la solution à tous prix, mais

1) poser les éléments en présence. On a déjà commencé : le nombre total t, le nombre de rangées... etc...
2) chercher la relation entre ces éléments. C'est CETTE RELATION qui permettra de trouver la, et même mieux LES SOLUTIONS aux différents problèmes pouvant être posés. On voit donc qu'il ne faut pas se fixer sur la question posée, mais sur l'expression math de l'énoncé : TROUVER LA RELATION QUI LIE LES DONNEES DE LA SITUATION

Quelle est cette relation en ce qui concerne le pb ? elle doit lier les paramètres d'une suite et la somme des termes de la suite (rappel : on parle de terme quand il y a des sommes...)

C'est là qu'il faut savoir, et se rappeler du cours. On a quel que part une formule qui donne la somme des termes d'une suite : c'est bien le nombre total d'éléments (donc de tuyaux ici...)

Cette somme d'une suite arithmétique, c'est la moyenne du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes.
donc

rq : c'est pour cela que je suis parti de U1 au lieu de U0. D'abord, ça parle plus par rapport à l'énoncé : U1 = première rangée, ensuite, on se perd moins dans le nombre de termes. Si on a U0 comme premier terme et Un comme dernier, il y a ... n+1 termes ! donc la formule devient

Maintenant, grâce à ce qu'on a appris dans la manipulation des formules, on peut trouver n'importe quelle donnée de la formule si on connait les autres.

Je peux connaitre la somme si je connais U1, Un et n. Mais je peux aussi connaitre U1 si je connais la somme, Un et n. etc etc...
Mais si on connait d'autres relations entre les éléments, on peut trouver en connaissant moins de valeurs. Et là, c'est bien ce qu'on veut puisqu'on a total et qu'on veut connaitre U1. Il faut donc arriver à "éliminer" Un et n

La, comme la suite est décroissante, et qu'on termine toujours avec 1 tuyau (c'est ça le truc à voir), on peut poser que Un = 1

Bien, il reste donc total, U1 et n, donc une de trop ! Il faut trouver un moyen d'exprimer n par rapport à U1 avec des données connues (Petite aide : Un qui est égale à 1 par exemple...)

Si tu arrives à suivre, je te laisse chercher ça et continuer. ça relève encore de formules liées à la suite arithmétique

Pas d'affolement, mais le problème n'est pas un problème SIMPLE. Il faut bien passer par toutes ces étapes, et d'autres ensuite que je n'ai pas encore indiqué.

Bon courage. Essaie de bien nous indiquer tous tes calculs et POURQUOI tu les poses

[S321]

En l'occurence, c'est assez clair, je pense. Et comme c'était bien trouvé, je ne vois pas la nécessité de chercher la petit bête.

La nécessité de lui dire de définir correctement ce dont il parle vient du fait que c'était évident que ce dont il parlait n'était pas clair dans son propre esprit. C'est pour ça que la suite était géométrique au début, puis est devenue arithmétique, et quelle est sa raison, son premier terme, oh puis elle est peut-être pas arithmétique tout compte fait.
Non, magnolia a prouvé qu'il savait ce qu'était un suite arithmétique donc si ce dont il parlait avait été clair dans son esprit il n'y aurait jamais pu y avoir le moindre doute.

Deuxième aspect de la nécessité c'est qu'on attend de lui qu'il fasse une démonstration mathématiques. Ça suppose d'exposer un raisonnement clair qui convainque sans l'ombre d'un doute que la réponse à la question est bien celle qu'il donne et qu'il ne peut en être autrement.
La rigueur mathématiques ce n'est pas "chercher la petite bête", elle est nécessaire pour réfléchir aux problèmes. Si Magnolia ne prend pas l'habitude de définir de quoi il parle non seulement ses démonstrations vont de plus en plus devenir du charabia mais il finira très vite par ne plus être capable du tout de répondre aux questions qu'on lui pose car il n'aura pas apprit comment y réfléchir.

[Lari]

La clarté et la précision sont effectivement des vertus à cultiver, je suis bien d'accord... et pas seulement en mathématiques.

Mais en toute amitié, je n'ai absolument pas la même conception de l'enseignement, et a fortiori de l'entraide.

Tout d'abord, il n'est pas interdit de dire "c'est juste" ou "c'est bien" même s'il y a d'autres parties fausses dans un exposé. (à moins qu'on vienne pour soigner une difficulté personnelle quelconque...)

De la même façon, il me semble nécessaire de partir de ce que la personne connait, aussi réduit que cela soit, puis chercher le moment ou une erreur est faite pour réellement identifier les difficultés rencontrées (sans jugement sur les lacunes trouvées). Cela me semble plus productif, et plus valorisant donc encourageant pour l'étudiant.

Mais il est vrai que l'exercice est difficile dans le cadre d'un forum. Il devrait se faire en tête-à-tête, attentif, étape par étape, au moment ou l'interlocuteur décroche, en pouvant revenir à tout moment à une notion antérieure, un concept mal assimilé, une pratique non maitrisée...

Juger un exercice uniquement à l'aune de la solution parfaite et en postulant que l'intégralité des notions pré-requises est connu et maitrisé me semble injuste et relativement peu efficace, surtout dans un forum d'entraide. Que sait-on du parcours de la personne, de son histoire, de la qualité des enseignements précédents ? Pas grand chose, et en particulier ici.

Il me semble que les difficultés d'acquisition de nouveaux savoir ne relèvent la plupart du temps pas de la complexité des nouveaux concepts à acquérir, mais du manque de maîtrise des concepts antérieurs. Et les concepts premiers ne sont pas les moins difficiles à maîtriser. Je ne suis pas sûr que la notion de nombre relatif, la notion de fraction, la mise en équation, concepts qui ont mis des siècles à émerger, soient bien plus simples à assimiler qu'un vecteur, une dérivée, une limite ou un rotationnel (les pré-requis étant maitrisés). De plus on peut remarquer que bien peu (et je suis indulgent) d'ouvrages et d'auteurs savent présenter de manière profonde et intuitive, au delà de la rigueur d'une définition formelle, la plupart des concepts précédemment cités (et là, c'est valable pour tous, du nombre relatif à l'hamiltonien...).

Enfin, chacun a ses faiblesses, ses lacunes et ses difficultés. Pour ma part, j'en sais bien peu, et, même s'il en était autrement, je ne m'autorise pas à considérer que mon savoir constitue une norme à partir de laquelle juger celui des autres. D'autant plus si l'on appelle soit-même à l'indulgence et qu'on espère pouvoir en apprendre de ceux qui en savent plus.

Et je vous l'avoue, vous l'avez compris et vous m'en excuserez, je suis souvent stupéfait par le ton et le contenu des certaines réponses rencontrées sur ces forums. Je le dis en toute camaraderie. Mais chacun a aussi son passé, ses habitudes, ses agacements... je peux le comprendre. Mais là, j'avoue être choqué malgré tout.

Je vais en rester là pour ne pas risquer de troller. je vais essayer de continuer à apporter ce que je peux à ce forum, à ma manière, dans la limite de ma disponibilité, et avec l'aide de chacun d'entre nous.

[S321]

Mais il est vrai que l'exercice est difficile dans le cadre d'un forum. Il devrait se faire en tête-à-tête, attentif, étape par étape, au moment ou l'interlocuteur décroche, en pouvant revenir à tout moment à une notion antérieure, un concept mal assimilé, une pratique non maitrisée...

C'est précisément pour cette raison que je ne répond pas en faisant une explication détaillée et générale de la manière de résoudre l'exercice. Ta réponse au post #13 était très bien mais à mon avis aussi très impersonnel et c'est possible que ce ne soit pas parfaitement pertinent avec les problèmes de Magnolia, que tu lui expliques en détails certaines choses dont il n'a pas besoin et qui ne feront que l'embrouiller plus qu'il ne l'est déjà (c'est déjà assez difficile d'aider un étudiant à se recentrer sur ce qu'il fait, si on s'éparpille soi-même ça devient contre-productif) et que d'un autre côté tu lui donnes certaines réponses sans qu'il les comprennent vraiment.

Je préfère commencer par m'attaquer au point qui me semble le plus problématique et qui génère ses erreurs pour lui permettre d'avancer au moins d'un cran. Dans ces circonstances lui dire que c'était juste d'utiliser une suite arithmétique était hors de propos car il ne comprenait pas pourquoi il fallait en utiliser une. S'il a pensé à utiliser une suite arithmétique c'est à mon avis plutôt parce qu'il a déjà vu ce genre de problème et qu'il se souvient qu'il faut utiliser une suite arithmétique dans ces cas là. Sauf que faire des raisonnements de mémoire sans les comprendre ça a ses limites et le conforter dans cette voix ne me semble pas très productif.
Donc en effet je préfère lui laisser entendre que ce n'est pas forcément une suite arithmétique et lui garder l'esprit ouvert plutôt qu'il sache qu'il ne peut pas en être autrement sans savoir pourquoi.

Juger un exercice uniquement à l'aune de la solution parfaite et en postulant que l'intégralité des notions pré-requises est connu et maitrisé me semble injuste et relativement peu efficace, surtout dans un forum d'entraide.

Je ne viens pas ici pour juger quelque exercice que ce soit. Je ne suis pas en train de corriger sa copie, je l'aide à la composer et à comprendre ce qu'il fait. Et à mon avis lorsqu'on enseigne il vaut mieux essayer de dire aux étudiants comment faire les choses correctement en espérant qu'au final ils fassent les choses pas trop mal plutôt que de leur enseigner directement à faire n'importe quoi.

Il me semble que les difficultés d'acquisition de nouveaux savoir ne relèvent la plupart du temps pas de la complexité des nouveaux concepts à acquérir, mais du manque de maîtrise des concepts antérieurs. Et les concepts premiers ne sont pas les moins difficiles à maîtriser.

Exactement et en mathématiques je ne connais pas de concept qui ait la préséance sur la rigueur. C'est le premier de tous les concepts... et peut-être bien le plus difficile de tous à maîtriser ^^.

[gg0]

Bonjour.

Le danger de "tout expliquer" est que celui à qui on explique voit bien ce que l'expliquant dit, mais n'apprend pas à faire la même chose (Je le sais bien, moi qui, entraineur sportif, ait fait progresser des gens bien plus doués que moi : Je voyais ce qu'il fallait faire, j'étais même capable de le verbaliser, mais pas capable de le faire moi-même).
Pour progresser, il faut faire soi-même. Pour apprendre à faire des exercices, il faut se forcer à chercher seul comment le faire.
Sinon, on fait de la reproduction, de l'imitation, de l'automathisme (dixit Stella baruck). Le premier post de cette discussion en est un exemple, quasi caricatural.

En une cinquantaine d'années, le niveau de capacité à expliquer des profs de maths est passé de médiocre à excellent. Les programmes ont été simplifiés, élagués de tout ce qui est délicat (géométrie, paramètres, définition des limites, etc). On en voit les résultats dans les tests Pisa ou dans les capacités des étudiants en L1 ou Prépas, sur les domaines qu'ils ont fréquentés. C'est visiblement contre-productif. Imaginerait-on une formation en EPS où seul le prof court parce que les élèves risqueraient de s'essouffler ?
Donc expliquer, oui, mais faire penser (*) en priorité. Seul.

Cordialement.

(*) C'est l'équivalent de courir en EPS.

[Deepika R.]

Merci de vos réponses,
je vais faire attention,
j'ai essayé de mieux m'expliquer:
1.Si l'on continue le procédé on pourra empiler 6 tuyaux en effet nous savons que le nombre de tuyaux posés au sol est de 3 or nous savons aussi qu'un tuyau est enlevé à chaque étage,cela nous permet d'affirmer que nous avons une suite arithmétique de raison -1.On aura donc 3 tuyaux posés au sol,2 tuyaux au 1er étage et 1 tuyau au dernier étage,ce qui nous donnera bien 6 tuyaux au total.

[Deepika R.]

Pour la question 2 ,j'ai utilisé la formule N+1/2*N
J'ai fait N+1/2*N=153
n²+n/2=153 donc n²+n-306=0
J'ai résolu et j'ai trouvé 2 solutions 17 et -18
Donc il y a aura 17 tuyaux comme c'est la seule solution enviseagable

[Lari]

Pour la question 2 ,j'ai utilisé la formule N+1/2*N
J'ai fait N+1/2*N=153
n²+n/2=153 donc n²+n-306=0
J'ai résolu et j'ai trouvé 2 solutions 17 et -18
Donc il y a aura 17 tuyaux comme c'est la seule solution enviseagable

C'est ça.

Attention à bien mettre les parenthèses, car je crois que ton calcul est correct mais son écriture est fausse (j'espère, sinon ce sont tes règles de calcul qui sont erronées !)

(N+1)/2*N=153
(n²+n)/2=153
n²+n=153x2
n²+n=306
n²+n-306=0
...

En plus, on cherche U1 (le nombre de tuyaux à poser au départ) et là, tu utilises n. Bon, il se trouve que dans ce cas U1 = n, mais ça rend la rédaction incorrecte.

Sinon, pour peaufiner la rédaction, je poserai plus de calculs intermédiaires.

Il y a d'un coté


On sait que Un = 1

donc on a



Par ailleurs en calculant Un selon U1 comme tu sembles l'avoir fait, on trouve que n = U1. Il faudrait justifier, donc présenter le calcul qui y arrive.
On peut alors seulement remplacer n par U1 (et non l'inverse, puisqu'on veut trouver U1)

et avoir


etc etc