Salut j'ai un Dm de maths a faire pour demain il ne me reste rien comme temps est je galère.
Si jamais quelqu'un a un corrigè je suis partant si non de l'aide merci^^
On cherche à modéliser l’évolution au cours du temps de deux populations d'animaux: le renard et le campagnol (qui constitue l’essentiel
du régime alimentaire du renard).
Pour tout entier n⩾0 on note an la population des renards, et bn la population des campagnols (donnée en milliers) à la fin du n -ième
mois. On suppose que l'on a, pour tout n⩾0 : {an+1=0,8 an+0,4bn
bn+ 1=−0,025an+1,05 bn
1) Donner une interprétation des coefficients 0,8 et 1,05 dans le contexte de l'exercice.
2) On suppose tout d'abord que la population initiale de chaque espèce est de 90 renards et 30 000 campagnols. Soit a0=90 et b0=30
a) Construire un algorithme qui permet de donner la valeur de aN et de bN pour un N donné par l'utilisateur.
b) Donner dans un tableau les valeurs de an et bn pour n=10 ,20 ,50, 80 et 100. Que constate-t-on ? Interpréter.
3) Nous allons expliquer le comportement des deux suites grâce au calcul matriciel:
a) On pose, pour tout n⩾0 Un=(an/bn) . Écrire le système (1) sous la forme d'une égalité matricielle du type Un+1=AUn .
b) Démontrer que, pour tout n⩾0 on a Un=AnU0 . À l'aide de la calculatrice calculer A20 , A50 , A100 . Que constate-t-on?
c) Posons P=(2 8
1 1) . Démontrer que P est inversible et calculer P−1 .
d) Calculer D=P−1AP , puis montrer que pour tout n⩾0 on a An=PDn P−1
e) En déduire que, en prenant a0=90 et b0=30 , pour tout n∈ℕ on a {an=50+40×0,85n
bn=25+5×0,85n
Étudier le comportement de ces deux suites, et comparer avec les résultats obtenus à la question 2. b.
Interpréter ce qui se passe à long terme.
4) a) Que se passe-t-il si les valeurs initiales changent pour a0=90 et b0=60 ?
b) À L'aide d'un tableur ou de la calculatrice, voir ce qui se passe pour les puissances de la matrice A et pour les deux suites lorsque
a0=90 , b0=30 et que l'on remplace le coefficient −0,025 par une valeur très proche −0,02 ou −0,03 par exemple. Interpréter.
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) et où tu bloques ...
