Réel ayant les même décimales que leur racine

[inviteb6b93040]

Bonjour

L'équation la plus simple n'est pas facile à résoudre à cause de la fonction partie entière
racine(v)-entier(racine(v))=v-entier(v)
ou v-racine(v)=entier
Existe il une autre équation avec des solutions calculables ?
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[obi76]

Salut,

on a répondu à cette question dans un autre fil qui a été archivé.

Si un nombre a les mêmes décimales que sa racine, alors si on appelle x ce nombre, on a , avec n entier quelconque, ce qui revient à trouver les racines de en fonction de .

Le reste est trivial.

[inviteb6b93040]

Bonjour et merci

Si je ne me trompe on peut l'écrire plus simplement (x+n)² - x = 0

[Médiat]

Bonjour,

On peut aussi écrire l'équation sous la forme .

On peut facilement noter :

1. Tous les entiers sont solutions
2. Toutes les solutions sont algébriques (pas de transcendants), et même sont quadratiques (donc leur développement en fraction continue est périodique à partir d'un certain rang (seul le nombre d'or est solution irrationnelle et vraiment périodique))
3. Aucun rationnel qui n'est pas un entier n'est solution

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb6b93040]

Je trouve

x1 = -2 * n - 1 + Racine(2 * n - 1 - 4 * n²) / 2
x2 = -2 * n - 1 - Racine(2 * n - 1 - 4 * n²) / 2

[inviteb6b93040]

Erreur j'ai oublié un carré

x1 = -2 * n - 1 + Racine((2 * n - 1)² - 4 * n²) / 2
x2 = -2 * n - 1 - Racine((2 * n - 1)² - 4 * n²) / 2

[inviteb6b93040]

Le problème c'est que je ne trouve aucune solution réelle positive car la delta=(2 * n - 1)² - 4 * n² est négatif pour n positif
et pour n=-1 le delta est positif mais on obtient pas les même décimales
x1 =2,11803398874989
Racine(x1)=1,45534669022535

[invite9d612c36]

Je crois qu'il y a une petite erreur; il faudrait plutôt écrire , vu que reste plus petit que x à partir de 1. Du coup ça t'évites de te retrouver avec un discriminant égal à 1-4n, qui est négatif pour tout n supérieur à 1.

[inviteb6b93040]

Si on fait ça alors x est négatif et racine de x n'est pas réelle

[inviteb6b93040]

Erreur j'ai oublié un carré

x1 = -2 * n - 1 + Racine((2 * n - 1)² - 4 * n²) / 2
x2 = -2 * n - 1 - Racine((2 * n - 1)² - 4 * n²) / 2

erreur de parenthèse

x1 = -2 * n - 1 + Racine((2 * (n - 1))² - 4 * n²) / 2
x2 = -2 * n - 1 - Racine((2 * (n - 1))² - 4 * n²) / 2

Mais les décimale sont toujours différentes
n=-1
x1 =4,11803398874989
racine de x1=2,02929396311867

Mais encore une erreur

x1 = -2 * (n - 1) + Racine((2 * (n - 1))² - 4 * n²) / 2
x2 = -2 * (n - 1) - Racine((2 * (n - 1))² - 4 * n²) / 2

Mais ça marche pas

[inviteb6b93040]

Si un nombre a les mêmes décimales que sa racine, alors si on appelle x ce nombre, on a , avec n entier quelconque, ce qui revient à trouver les racines de en fonction de .

Le reste est trivial.

Pa si trivial que ça pour moi finalement
Je reprend donc pas à pas

de la forme
avec a=1
b=2n-1
c=n²
delta=b²-4ac=(2n-1)²-4n²=4n²-4n+1-4n²=1-4n

[inviteb6b93040]

Et ça marche enfin

Désolé pour toutes ces erreurs

n=-1
x2= 2,61803398874989
Racine de x2=1,61803398874989

[invite57a1e779]

L'équation admet, pour strictement négatif, deux racines de produit strictement positifs et de somme strictement positive : ces deux racines sont donc strictement positives.

L'une satisfait : donc et ont les mêmes décimales.

L'autre satisfait : donc et n'ont pas les mêmes décimales, sauf si est entier.

Exemple 1 : .

L'équation a pour solutions : et , donc : et .

D'une part : donc et ont les mêmes décimales. Vérification : et à près.

D'autree part : donc et n'ont pas les mêmes décimales. Vérification : et à près.

Exemple 1 : .

L'équation a pour solutions : et qui sont entières donc , , et ont les mêmes décimales nulles.

[inviteb6b93040]

Merci,

J'ai fait un programme en vba pour explorer la suite

Function DecimaleEgales()
    ch = "D:\MSVCNT\pianoVB\"
    Open ch & "RacineMemeDecimale.txt" For Output As 1
    For I = -1 To -10000 Step -1
        V = 1 - 4 * I
        p = (1 - 2 * I + Sqr(V)) / 2
        s = Sqr(p)
        Print #1, Round(p * 1)
    Next I
Close #1
End Function

*** Hors Sujet, comme d'habitude ***

[inviteb6b93040]

Le début de la suite

 2,61803398874989 
 1,61803398874989 
 4 
 2 
 5,30277563773199 
 2,30277563773199 
 6,56155281280883 
 2,56155281280883 
 7,79128784747792 
 2,79128784747792 
 9 
 3 
 10,1925824035673 
 3,19258240356725 
 11,372281323269 
 3,37228132326901 
 12,5413812651491 
 3,54138126514911 
 13,7015621187164 
 3,70156211871642 
 14,8541019662497 
 3,85410196624968 
 16 
 4 
 17,1400549446403 
 4,14005494464026 
 18,2749172176354 
 4,27491721763537 
 19,4051248379533 
 4,40512483795333 
 20,5311288741493 
 4,53112887414927 
 21,653311931459 
 4,65331193145904 
 22,7720018726588 
 4,77200187265877 
 23,8874821936961 
 4,88748219369606 
 25 
 5 
 26,1097722286464 
 5,10977222864644 
 27,2169905660283 
 5,2169905660283 
 28,3218253804965 
 5,32182538049648 
 29,4244289008981 
 5,42442890089805 
 30,5249378105604 
 5,52493781056045 
 31,6234753829798 
 5,6234753829798 
 32,7201532544553 
 5,72015325445528 
 33,8150729063673 
 5,81507290636733 
 34,908326913196 
 5,90832691319598 
 36 
 6 
 37,0901699437495 
 6,09016994374947 
...