Besoin d'aide DM dérivation

[invitecb82f686]

Bonjour,

J'ai un dm à faire pour la rentrée et je bloque sur quelques questions d'un exercice. Voici l'énoncé :

Soit g la fonction définie sur [0;+[ par .
1. a) Etudier le sens de variation de g sur [0;+[.
b) Démontrer que, pour tout x de [0;+[ :

2. Soit f la fonction définie sur [0;+[ par et Cf sa courbe représentative.
a) Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 1.
b) Etudier la position de cette tangente par rapport à Cf.

Voici ce que j'ai fais :

1. a) On sait que g est définie sur R₊, et g(x) est dérivable sur R₊^*. On a donc :

...


Établissons le tableau de signe de g'(x) :
... -> là je trouve que sur 0 c'est pas défini, positif sur ]0;1], en 1 ça s'annule et négatif sur [1;+[.
Ainsi, on peut en conclure que g(x) est croissante sur ]0;1] et décroissante sur [1;+[.

b) j'arrive vraiment pas à voir comment faire. Je pense que faut d'abord démontrer que g(x) est inférieur à 0 pour tout x qui appartient à l'intervalle de définition, pour ensuite se ramener à une inégalité qui est assez simple puisqu'il y aura plus qu'à faire passer -x-1 de l'autre côté, mais pour démontrer que g(x) est inférieur à 0 pour tout x qui appartient à l'intervalle de définition, je vois pas du tout comment faire.

2. a) Dérivons la fonction f(1) = . On a :

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est donc 1/2. De plus, calculons l'ordonné au point d'abscisse 1 :


On a donc :




Ainsi, on a :


b) Appelons h(x) la fonction affine représentée par l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 1. On a :



Et après, je sais pas comment faire. :/ Je vois pas où faut aller, comment trouver le signe de cette expression.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Je vous remercie d'avance !

nb : j'ai mis "..." pour éviter d'écrire tout le calcul, si jamais mon résultat est faux, je peux l'écrire afin de voir éventuellement si j'ai fais une erreur.
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[invite8fd0ee2c]

Pour la question 1.b

Si ta courbe est croissante puis décroissante alors elle admet un maximum.


Pour la suite les limites peuvent peut-être t'aider.

[invite8d4af10e]

Bonjour
pour la question b
tu remarqueras que l'inégalité revient à écrire g(x)<=0 , or pour tout x , tu dois voir que g(x) et non g'(x) , est <=0 , pour t'en convaincre amuse à toi à calculer g(1) , g(0).....
mais tu le vois dans le tableau de variation.

[invitecb82f686]

Ah oui merci, la 1.b) était en fait assez simple. On remettra la cause sur les vacances !

Pour la 2.b), j'ai pas encore étudié les limites vu que c'est au programme de terminale je crois. Mais je vais essayer de trouver une solution qui s'en approche de façon moins rigoureuse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

Que c'est agréable un énoncé proprement et clairement rédigé ... on en avait presque perdu l'habitude

[invite8d4af10e]

pour la tangente , tu remarqueras que f(x)-h(x)( en réduisant au même dénominateur ) donnera g(x) au numérateur et son signe tu le connais .

[invitecb82f686]

Pour la 2.b), j'ai essayé de faire cela (pour le début cf le premier message) :

Soit . d(x) étant dérivable sur R₊^*, on a :





Établissons le tableau de signe :

Là je trouve que c'est positif entre 0 (qui n'est pas défini) et 1, c'est nul en 1 puis c'est négatif en [1;+[.

Donc, on peut en déduire la tableau de variation de d(x) :

Donc croissant de 0 à 1 et décroissant de 1 à +. De plus, le sommet en 1 est égal à 0. Donc de là, j'en déduis que :

Pour tout x appartenant à [0;+[, on a :
d(x) < 0
Donc, h(x) est supérieur à f(x) et sa course représentative se trouve "au-dessus" de celle de f(x).

Qu'en pensez-vous ?

EDIT : nos messages se sont croisés jamo, je vais voir cela merci beaucoup !
EDIT 2 : avec ton conseil j'ai aussi trouvé d(x) < 0 jamo, merci ! C'est bien ça ? [/B]

[pallas]

je me répète mais saches que g(x) est une réel alors l'écriture g(x) croissante n' a pas de sens il faut dire la fonction g

[invitecb82f686]

D'accord, désolé alors. Merci de me l'avoir rappelé.