Besoin d'aide Dm dérivation
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Besoin d'aide Dm dérivation



  1. #1
    invite2e2772f4

    Besoin d'aide Dm dérivation


    ------

    Bonjour à tous, j'ai besoin d'aide car j'ai un Dm à faire mais je n'arrive pas à tout ...

    1er Exercice :

    Soit un Cylinde de volume fixé V et X le rayon de sa base .
    1. Exprimer la hauteur h(x) et son aire totale A(x) .
    2. Etudier les variations de la fonction A sur ]0;+infini[, puis montrer qu'elle admet un minimum en un point Xo tel que :
    Xo3 = V / (2pi)
    X zero indice 3

    3.En déduire que, pour une boîte de conserve cylindrique de volume fixé, la surface de métal est minimale (et donc le coût est minimal), lorsque la hauteur est égale au diamètre de la base (en négligeant les soudures).

    2ème Exercice :

    On considère la fonction f définie par :
    f(x)=(x-1)² \/¯x-1

    On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
    1. Préciser son ensemble de définition Df
    2. Etablir le taux d'accroissement t(x) de la fonction f en 1.
    3. En déduire que la fonction f est dérivable sur [1;+infini[ et donner f'(x) sur cet intervalle
    4. Justifier que f est strictement croissante sur [1;+infini[
    5. Déterminer une équation de la tangeant à Cf au point d'abscisse 1. tracer Cf


    Donc j'ai fais tout l'exercice 1 sauf la question 2.
    Et pour l'exercice 2 je bloque à la question 2 car je trouve h/h et donc 0.

    Merci de votre aide

    -----

  2. #2
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    Bonjour
    Donc j'ai fais tout l'exercice 1 sauf la question 2.
    Et pour l'exercice 2 je bloque à la question 2 car je trouve h/h et donc 0.
    Bonjour Lycéen,

    Montre un peu ce que tu as fait, qu'on vérifie ton expression de A(x).
    D'autre part, h/h ça ne fait pas 0, mais 1.

  3. #3
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Pour le 1 :

    Volume d'un cylindre = aire de la base * hauteur
    d'où hauteur = Volume / aire de la base.

    aire totale =2 * (aire de la base) + aire latérale
    avec aire latérale= hauteur * (circonférence de la base).

    J'exprime maintenant cela en fonction de x :

    h(X) = v/ (pi *x^2)

    a(x) = 2*(pi*x²) + h(x)*C [2(aire dela base) + aire latérale]
    a(x) = 2*(pi*x²) + h(x)*2*pi*x

    a(x) = 2(piXx^2) + h(x)X2pix
    = 2pi2x^2 + V / pix^2 X 2pi x
    = 2pi2x^2 + 2pix V / pi x^2
    = 2pi2x^2 + 2v /x
    = 2pi 2x^2 + 2V / x
    = 2 ( pix^2+ V) / x
    a(x)=(2V)/x + 2 pi x²

    Pour le 3 :
    donc a(x) minimum pour x0^3=V/2pi qui donne : V=2pi*x0^3

    Or h=V/pi*x² -->on remplace V par 2pi*x0^3 :

    h=2pi*x0^3/pi*x²

    h=2x0 (qui est le diamètre de la base)

    a(x) est minimale si la hauteur est égale au diamètre de la base.

  4. #4
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    et pour l'exercice 2 :

    J'ai trouvé l'ensemble de définition [1;+infini[
    et après j'ai fais [f(a+h)-f(a)]/h
    = [f(1+h)-f(1)]/h mais vu que f(1)=0 on a :
    = f(1+h)/ h

    Donc on remplace [(1+h-1)² *\/1+h-1]/h
    = [(h)²*\/h]/h
    = h/h
    Et là , gros trou ...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    C'est faux ce que je fais ?
    Je t'explique le contexte : on a 1 mois de retard sur le programme donc il nous a donné des exercices mais on a rien fait en classe.

  7. #6
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Pas mal.
    Pourquoi as-tu dit que tu n'avais pas su faire la question 2 de l'exo 1 ?
    Je ne comprends pas très bien cette ligne (c'est quoi C ?):
    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    a(x) = 2*(pi*x²) + h(x)*C [2(aire dela base) + aire latérale]
    Et tout ça est un peu cafouilleux en écriture, mais le résultat final est exact :
    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    = 2pi2x^2 + V / pix^2 X 2pi x
    = 2pi2x^2 + 2pix V / pi x^2
    = 2pi2x^2 + 2v /x
    = 2pi 2x^2 + 2V / x
    = 2 ( pix^2+ V) / x
    a(x)=(2V)/x + 2 pi x²
    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    Pour le 3 :
    donc a(x) minimum pour x0^3=V/2pi qui donne : V=2pi*x0^3

    Or h=V/pi*x² -->on remplace V par 2pi*x0^3 :

    h=2pi*x0^3/pi*x²

    h=2x0 (qui est le diamètre de la base)

    a(x) est minimale si la hauteur est égale au diamètre de la base.
    Parfaitement exact. Il faut juste détailler le calcul de la dérivée :
    A'(x) = ax - 2V/x²
    Il faut aussi être sûr qu'il s'agit bien d'un minimum et non d'un maximum quand A'(x) = 0

  8. #7
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    On considère la fonction f définie par :
    f(x)=(x-1)² \/¯x-1
    Je présume que le -1 est sous le radical ?
    et non -1

  9. #8
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Euh le C est en trop désolé .
    C'est cafouilleux car je ne connais pas les raccourcis et j'ai du mal à l'écrire à l'ordi.

    Pour la dérivée , on a donc :
    a'(x)= (U+V)' = (-2V)/x² + 4 pi x

    Est-ce ça ?
    Et peux-tu me rédiger la 2 car je ne sais comment la formuler ?

    Merci beaucoup

  10. #9
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Paminode Voir le message
    Je présume que le -1 est sous le radical ?
    et non -1
    Oui c'est ta 1ère solution .
    Comment faire les racines et tout sur ce site ?

  11. #10
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    Donc on remplace [(1+h-1)² *\/1+h-1]/h
    = [(h)²*\/h]/h
    = h/h
    Ah non !
    /h n'est pas égal à h/h ?!
    ne se simplifie pas en h.

  12. #11
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    C'est égal à quoi alors ?

  13. #12
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    Comment faire les racines et tout sur ce site ?
    Dans ta boîte, tu as en haut à droite les 3 icones :

    X² X2 TEX

    * Pour écrire les carrés, tu as le choix :
    - tu utilises sur ton clavier la touche 2 à gauche de la touche 1 &
    - tu cliques sur la touche X2, tu vois apparaître (EXP)(/EXP) et tu écris l'exposant au milieu.

    * Pour écrire les indices :
    - tu cliques sur la touche X2, tu vois apparaître (IND)(/IND) et tu écris l'indice au milieu.

    * Pour écrire les racines :
    - tu écris \sqr{truc} , tu surlignes, tu cliques sur TEX, tu vois apparaître (TEX)\sqr{truc}(/TEX) et tu obtiens à l'affichage

  14. #13
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    C'est égal à quoi alors ?
    h²/h se simplifie en h, donc h²/h se simplifie en h

  15. #14
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Le taux d'accroissement c'est donc h , mais après que dois-je faire ?
    Et pour l'exercice 1 ; question 2 : peux-tu me le rédiger ?

    Encore une fois : merci

  16. #15
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Un peu de patience, là je suis au boulot, je dois aller faire un peu mon job, je reviens plus tard.

  17. #16
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    D'accord .
    A toute à l'heure

  18. #17
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    2. Etudier les variations de la fonction A sur ]0;+infini[, puis montrer qu'elle admet un minimum en un point Xo tel que :
    Xo3 = V / (2pi)
    X zero indice 3
    A(x) = 2x² + 2V/x
    A'(x) = 4x - 2V/x²
    A'(x) = 0 :
    4x = 2V/x²
    4x3 = 2V
    x3 = V/2
    Donc, pour x = 3, A(x) passe par un extremum. Minimum ou maximum ?
    Si x -> + => 2V/x -> 0 et 4x -> + , donc A(x) -> +
    L'extremum est donc forcément un minimum.

  19. #18
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    La fonction est décroissante sur ]0 ; 3[ puis croissante sur ]3 ; +[

  20. #19
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Paminode Voir le message
    Si x -> + => 2V/x -> 0 et 4x -> + , donc A(x) -> +
    L'extremum est donc forcément un minimum.
    Que signifie tes flèches ?
    et peux-tu m'expliquer l'histoire du minimum ?

  21. #20
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    -> signifie "tendre vers" : chapitre des limites qui précède celui des dérivées.
    Quand x tend vers l'infini, 1/x tend vers 0, donc 2V/x ne joue plus. Il ne reste plus que 4x.
    A(x) a la même limite que 4x, c'est-à-dire +.
    Si la fonction est croissante depuis x0, alors c'est que l'on a bien un minimum en x0.

  22. #21
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Merci Paminode pour ton aide , je me rends compte du retard que j'ai .

    Peux-tu me mettre sur la voie , sur ce qu'il y a faire dans l'exercice 2 après avoir trouvé h

    Merci

  23. #22
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Nous avons donc trouvé que le taux d'acroissement pour x = 1 était égal à :
    t(x) = h
    On peut en déduire la limite.
    lim f(x) [qd x -> 1] = lim t(x) [qd h -> 0] = lim h [qd h -> 0] = 0 = 0
    Ce qui veut dire que le taux d'accroissement de la fonction admet une limite pour x = 1, donc la fonction admet une dérivée pour x = 1

  24. #23
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Pour y voir plus clair, suit ce lien :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e
    Saute le début, va directement à "Définition formelle"
    (3 ème ou 4 ème §)

  25. #24
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    Comment faire les racines et tout sur ce site ?
    Tout est là :
    http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

  26. #25
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Paminode Voir le message
    Nous avons donc trouvé que le taux d'acroissement pour x = 1 était égal à :
    t(x) = h
    On peut en déduire la limite.
    lim f(x) [qd x -> 1] = lim t(x) [qd h -> 0] = lim h [qd h -> 0] = 0 = 0
    Ce qui veut dire que le taux d'accroissement de la fonction admet une limite pour x = 1, donc la fonction admet une dérivée pour x = 1
    C'est la question 2 ou 3 de l'exos ?

  27. #26
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Car dans l'exercice il n'y a pas de questions sur les limites. En tout cas ca me fait du supplément donc merci .

    Et pour les autres questions ?

  28. #27
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    Car dans l'exercice il n'y a pas de questions sur les limites.
    Si, indirectement. Car pour démontrer qu'une fonction est dérivable en un point, il faut calculer la limite de son taux d'accroissement.

  29. #28
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    je ne vois pas où tu vas en venir après, désolé

  30. #29
    invite2e2772f4

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Pour le 1- j'ai défini l'ensemble de définition sur [1;+infini[
    2-


    Pour le 3-La fonction est dérivable sur [1;+infini[ comme produit de fonctions dérivables sur [1;+infini[ et elle est aussi dérivable en 1 puisque t(h)->0 quand h->0.
    f'(x)=2(x-1) +(x-1)² X ...je te laisse simplifier ça...moi j'ai trouvé f'(x) = (x-1)

    pour le 4- donc la fonction dérivée f'(x) est positive
    on en déduit que f(x) est croissante.

    pour le 5- équation de la tangente au point d'abscisse 1
    t(x) y=f'(a)(x-a)+f(a)
    a=1 y=0


    Est-ce ça ?

  31. #30
    Paminode

    Re : Besoin d'aide Dm dérivation

    Citation Envoyé par Lyceen1ereS Voir le message
    Pour le 1- j'ai défini l'ensemble de définition sur [1;+infini
    Oui.
    2-
    Oui.
    Pour le 3-La fonction est dérivable sur [1;+infini[ comme produit de fonctions dérivables sur [1;+infini[
    Je ne me souviens plus de cela.
    et elle est aussi dérivable en 1 puisque t(h)->0 quand h->0.
    Oui : t(h)->0 quand h->0 pour x = 1. Il est important de le préciser. Ce n'est pas forcément vrai pour tout x.
    f'(x)=2(x-1) +(x-1)² X ...je te laisse simplifier ça...moi j'ai trouvé f'(x) = (x-1)
    J'ai trouvé la même chose.
    pour le 4- donc la fonction dérivée f'(x) est positive
    on en déduit que f(x) est croissante.
    Oui.
    x >= 1 => (x - 1) >= 0 ; >= 0 pour tout a
    pour le 5- équation de la tangente au point d'abscisse 1
    t(x) y=f'(a)(x-a)+f(a)
    a=1 y=0
    Est-ce ça ?
    J'ai l'impression. C'est l'axe des x qui est la tangente au point x = 1

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