Besoin d'aide Dm dérivation

[invite2e2772f4]

Bonjour à tous, j'ai besoin d'aide car j'ai un Dm à faire mais je n'arrive pas à tout ...

1er Exercice :

Soit un Cylinde de volume fixé V et X le rayon de sa base .
1. Exprimer la hauteur h(x) et son aire totale A(x) .
2. Etudier les variations de la fonction A sur ]0;+infini[, puis montrer qu'elle admet un minimum en un point Xo tel que :
Xo3 = V / (2pi)
X zero indice 3

3.En déduire que, pour une boîte de conserve cylindrique de volume fixé, la surface de métal est minimale (et donc le coût est minimal), lorsque la hauteur est égale au diamètre de la base (en négligeant les soudures).

2ème Exercice :

On considère la fonction f définie par :
f(x)=(x-1)² \/¯x-1

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. Préciser son ensemble de définition Df
2. Etablir le taux d'accroissement t(x) de la fonction f en 1.
3. En déduire que la fonction f est dérivable sur [1;+infini[ et donner f'(x) sur cet intervalle
4. Justifier que f est strictement croissante sur [1;+infini[
5. Déterminer une équation de la tangeant à Cf au point d'abscisse 1. tracer Cf


Donc j'ai fais tout l'exercice 1 sauf la question 2.
Et pour l'exercice 2 je bloque à la question 2 car je trouve h/h et donc 0.

Merci de votre aide
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[inviteb14aa229]

Bonjour
Donc j'ai fais tout l'exercice 1 sauf la question 2.
Et pour l'exercice 2 je bloque à la question 2 car je trouve h/h et donc 0.

Bonjour Lycéen,

Montre un peu ce que tu as fait, qu'on vérifie ton expression de A(x).
D'autre part, h/h ça ne fait pas 0, mais 1.

[invite2e2772f4]

Pour le 1 :

Volume d'un cylindre = aire de la base * hauteur
d'où hauteur = Volume / aire de la base.

aire totale =2 * (aire de la base) + aire latérale
avec aire latérale= hauteur * (circonférence de la base).

J'exprime maintenant cela en fonction de x :

h(X) = v/ (pi *x^2)

a(x) = 2*(pi*x²) + h(x)*C [2(aire dela base) + aire latérale]
a(x) = 2*(pi*x²) + h(x)*2*pi*x

a(x) = 2(piXx^2) + h(x)X2pix
= 2pi2x^2 + V / pix^2 X 2pi x
= 2pi2x^2 + 2pix V / pi x^2
= 2pi2x^2 + 2v /x
= 2pi 2x^2 + 2V / x
= 2 ( pix^2+ V) / x
a(x)=(2V)/x + 2 pi x²

Pour le 3 :
donc a(x) minimum pour x0^3=V/2pi qui donne : V=2pi*x0^3

Or h=V/pi*x² -->on remplace V par 2pi*x0^3 :

h=2pi*x0^3/pi*x²

h=2x0 (qui est le diamètre de la base)

a(x) est minimale si la hauteur est égale au diamètre de la base.

[invite2e2772f4]

et pour l'exercice 2 :

J'ai trouvé l'ensemble de définition [1;+infini[
et après j'ai fais [f(a+h)-f(a)]/h
= [f(1+h)-f(1)]/h mais vu que f(1)=0 on a :
= f(1+h)/ h

Donc on remplace [(1+h-1)² *\/1+h-1]/h
= [(h)²*\/h]/h
= h/h
Et là , gros trou ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2e2772f4]

C'est faux ce que je fais ?
Je t'explique le contexte : on a 1 mois de retard sur le programme donc il nous a donné des exercices mais on a rien fait en classe.

[inviteb14aa229]

Pas mal.
Pourquoi as-tu dit que tu n'avais pas su faire la question 2 de l'exo 1 ?
Je ne comprends pas très bien cette ligne (c'est quoi C ?):

a(x) = 2*(pi*x²) + h(x)*C [2(aire dela base) + aire latérale]

Et tout ça est un peu cafouilleux en écriture, mais le résultat final est exact :

= 2pi2x^2 + V / pix^2 X 2pi x
= 2pi2x^2 + 2pix V / pi x^2
= 2pi2x^2 + 2v /x
= 2pi 2x^2 + 2V / x
= 2 ( pix^2+ V) / x
a(x)=(2V)/x + 2 pi x²

Pour le 3 :
donc a(x) minimum pour x0^3=V/2pi qui donne : V=2pi*x0^3

Or h=V/pi*x² -->on remplace V par 2pi*x0^3 :

h=2pi*x0^3/pi*x²

h=2x0 (qui est le diamètre de la base)

a(x) est minimale si la hauteur est égale au diamètre de la base.

Parfaitement exact. Il faut juste détailler le calcul de la dérivée :
A'(x) = ax - 2V/x²
Il faut aussi être sûr qu'il s'agit bien d'un minimum et non d'un maximum quand A'(x) = 0

[inviteb14aa229]

On considère la fonction f définie par :
f(x)=(x-1)² \/¯x-1

Je présume que le -1 est sous le radical ?
et non -1

[invite2e2772f4]

Euh le C est en trop désolé .
C'est cafouilleux car je ne connais pas les raccourcis et j'ai du mal à l'écrire à l'ordi.

Pour la dérivée , on a donc :
a'(x)= (U+V)' = (-2V)/x² + 4 pi x

Est-ce ça ?
Et peux-tu me rédiger la 2 car je ne sais comment la formuler ?

Merci beaucoup

[invite2e2772f4]

Je présume que le -1 est sous le radical ?
et non -1

Oui c'est ta 1ère solution .
Comment faire les racines et tout sur ce site ?

[inviteb14aa229]

Donc on remplace [(1+h-1)² *\/1+h-1]/h
= [(h)²*\/h]/h
= h/h

Ah non !
h²/h n'est pas égal à h/h ?!
h² ne se simplifie pas en h.

[invite2e2772f4]

C'est égal à quoi alors ?

[inviteb14aa229]

Comment faire les racines et tout sur ce site ?

Dans ta boîte, tu as en haut à droite les 3 icones :

X² X₂ T_EX

* Pour écrire les carrés, tu as le choix :
- tu utilises sur ton clavier la touche 2 à gauche de la touche 1 &
- tu cliques sur la touche X², tu vois apparaître (EXP)(/EXP) et tu écris l'exposant au milieu.

* Pour écrire les indices :
- tu cliques sur la touche X₂, tu vois apparaître (IND)(/IND) et tu écris l'indice au milieu.

* Pour écrire les racines :
- tu écris \sqr{truc} , tu surlignes, tu cliques sur T_EX, tu vois apparaître (TEX)\sqr{truc}(/TEX) et tu obtiens à l'affichage

[inviteb14aa229]

C'est égal à quoi alors ?

h²/h se simplifie en h, donc h²/h se simplifie en h

[invite2e2772f4]

Le taux d'accroissement c'est donc h , mais après que dois-je faire ?
Et pour l'exercice 1 ; question 2 : peux-tu me le rédiger ?

Encore une fois : merci

[inviteb14aa229]

Un peu de patience, là je suis au boulot, je dois aller faire un peu mon job, je reviens plus tard.

[invite2e2772f4]

D'accord .
A toute à l'heure

[inviteb14aa229]

2. Etudier les variations de la fonction A sur ]0;+infini[, puis montrer qu'elle admet un minimum en un point Xo tel que :
Xo3 = V / (2pi)
X zero indice 3

A(x) = 2x² + 2V/x
A'(x) = 4x - 2V/x²
A'(x) = 0 :
4x = 2V/x²
4x³ = 2V
x³ = V/2
Donc, pour x = ³, A(x) passe par un extremum. Minimum ou maximum ?
Si x -> + => 2V/x -> 0 et 4x -> + , donc A(x) -> +
L'extremum est donc forcément un minimum.

[inviteb14aa229]

La fonction est décroissante sur ]0 ; ³[ puis croissante sur ]³ ; +[

[invite2e2772f4]

Si x -> + => 2V/x -> 0 et 4x -> + , donc A(x) -> +
L'extremum est donc forcément un minimum.

Que signifie tes flèches ?
et peux-tu m'expliquer l'histoire du minimum ?

[inviteb14aa229]

-> signifie "tendre vers" : chapitre des limites qui précède celui des dérivées.
Quand x tend vers l'infini, 1/x tend vers 0, donc 2V/x ne joue plus. Il ne reste plus que 4x.
A(x) a la même limite que 4x, c'est-à-dire +.
Si la fonction est croissante depuis x₀, alors c'est que l'on a bien un minimum en x₀.

[invite2e2772f4]

Merci Paminode pour ton aide , je me rends compte du retard que j'ai .

Peux-tu me mettre sur la voie , sur ce qu'il y a faire dans l'exercice 2 après avoir trouvé h

Merci

[inviteb14aa229]

Nous avons donc trouvé que le taux d'acroissement pour x = 1 était égal à :
t(x) = h
On peut en déduire la limite.
lim f(x) [qd x -> 1] = lim t(x) [qd h -> 0] = lim h [qd h -> 0] = 0 = 0
Ce qui veut dire que le taux d'accroissement de la fonction admet une limite pour x = 1, donc la fonction admet une dérivée pour x = 1

[inviteb14aa229]

Pour y voir plus clair, suit ce lien :
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e
Saute le début, va directement à "Définition formelle"
(3 ème ou 4 ème §)

[inviteb14aa229]

Comment faire les racines et tout sur ce site ?

Tout est là :
http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

[invite2e2772f4]

Nous avons donc trouvé que le taux d'acroissement pour x = 1 était égal à :
t(x) = h
On peut en déduire la limite.
lim f(x) [qd x -> 1] = lim t(x) [qd h -> 0] = lim h [qd h -> 0] = 0 = 0
Ce qui veut dire que le taux d'accroissement de la fonction admet une limite pour x = 1, donc la fonction admet une dérivée pour x = 1

C'est la question 2 ou 3 de l'exos ?

[invite2e2772f4]

Car dans l'exercice il n'y a pas de questions sur les limites. En tout cas ca me fait du supplément donc merci .

Et pour les autres questions ?

[inviteb14aa229]

Car dans l'exercice il n'y a pas de questions sur les limites.

Si, indirectement. Car pour démontrer qu'une fonction est dérivable en un point, il faut calculer la limite de son taux d'accroissement.

[invite2e2772f4]

je ne vois pas où tu vas en venir après, désolé

[invite2e2772f4]

Pour le 1- j'ai défini l'ensemble de définition sur [1;+infini[
2-


Pour le 3-La fonction est dérivable sur [1;+infini[ comme produit de fonctions dérivables sur [1;+infini[ et elle est aussi dérivable en 1 puisque t(h)->0 quand h->0.
f'(x)=2(x-1) +(x-1)² X ...je te laisse simplifier ça...moi j'ai trouvé f'(x) = (x-1)

pour le 4- donc la fonction dérivée f'(x) est positive
on en déduit que f(x) est croissante.

pour le 5- équation de la tangente au point d'abscisse 1
t(x) y=f'(a)(x-a)+f(a)
a=1 y=0


Est-ce ça ?

[inviteb14aa229]

Pour le 1- j'ai défini l'ensemble de définition sur [1;+infini

Oui.

2-

Oui.

Pour le 3-La fonction est dérivable sur [1;+infini[ comme produit de fonctions dérivables sur [1;+infini[

Je ne me souviens plus de cela.

et elle est aussi dérivable en 1 puisque t(h)->0 quand h->0.

Oui : t(h)->0 quand h->0 pour x = 1. Il est important de le préciser. Ce n'est pas forcément vrai pour tout x.

f'(x)=2(x-1) +(x-1)² X ...je te laisse simplifier ça...moi j'ai trouvé f'(x) = (x-1)

J'ai trouvé la même chose.

pour le 4- donc la fonction dérivée f'(x) est positive
on en déduit que f(x) est croissante.

Oui.
x >= 1 => (x - 1) >= 0 ; >= 0 pour tout a

pour le 5- équation de la tangente au point d'abscisse 1
t(x) y=f'(a)(x-a)+f(a)
a=1 y=0
Est-ce ça ?

J'ai l'impression. C'est l'axe des x qui est la tangente au point x = 1