Equation de cercle dans le plan complexe

[invite06287e0f]

Bonjour, j'aimerais avoir une réponse à une petite curiosité.
J'ai un exercice type bac où je dois prouver que deux points appartiennent à un ensemble de point qu'est un cercle de centre l'origine. Donc je compare leur module au rayon du cercle et je conclus. Mais dans le plan, lorsqu'un cercle a pour centre l'origine du repère, une équation de ce cercle est x² + y² = r². Une fois dans le plan complexe, est-ce que cette équation se transforme en l'une des deux ci-dessous :
Re(z)² + Im(z)² = r² ou
Re(z)² + i Im(z)² = r² ?
La première marche avec des cas particuliers...
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[invitea3eb043e]

Si z = x + i y, la partie réelle de z est x et la partie imaginaire est i y
Donc l'équation sera |z| = r ou bien x² + y² = r²
Pas de Im(z)² qui vaudrait - y²

[invite06287e0f]

Pourquoi Im(z)² vaut-il -y² ? i n'est pas compris dans Im(z)², si ?

[invite401b9562]

Pourquoi Im(z)² vaut-il -y² ? i n'est pas compris dans Im(z)², si ?

Bonjour,

Non I n'est pas compris dans l'Im(z)... Dans le cas présenté, c'est bien y^2 la partie imaginaire de z !

Pour ta question initiale,

tu devrais savoir que l'équation d'un cercle dans le plan complexe est :

|z|=r.

Donc aprés suffit de develloper...

|z|=sqrt(x^2 + y^2)=r
donc on retrouve bien

x^2 + y^2 =r^2

Donc au final ta premiere expression est la bonne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06287e0f]

Ah en effet, merci beaucoup pour ta remarque.
Une dernière question, un peu éloignée mais bon : est-il toléré d'écrire ( A,B ) E C² si j'ai A et B deux points du cercle C ?