Multiplicité d'une racine complexe dans un polynôme réel

[invitea4de43f7]

Bonjour,
Je me demande pourquoi, lorsqu'on a un polynôme à coefficients réels,
la multiplicité d'une racine complexe serait égale à la multiplicité de son conjugué.
Pourtant ça doit être vrai parce que quand on a un polynôme de degré 5 et qu'on
a trouvé 2 paires de racines conjuguées on en déduit que la 5e racine est
différente de toutes les autres (et donc réelle).
Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Parce qu'un polynôme à coefficients réels est son propre conjugué : divise si, et seulement si, divise .

[gg0]

Bonjour.

Si a est une racine de P, polynôme à coefficients réels, alors .
Donc si a n'est pas réel, on peut factoriser : et étant un polynôme à coefficients réels, Q(x) en est aussi un (la division euclidienne est la même procédure dans et dans ).
Si a est encore racine de Q(x), on continue, jusqu'à ce que a (et donc ) ne soit plus racine.

Cordialement.